1.10. FRIEDMAN´I VÕRRANDITE LAHENDID JA NENDE OMADUSED

Nagu juba rõhutati punktis 9, on Friedman´i võrrandeid (1.46.a, 1.46.b) võimalik lahendada, teades Universumis oleva aine-energia olekuvõrrandit, st seost energiatiheduse ja rõhu vahel. Tabelis 1 on toodud Friedman´i võrrandite lahendid juhul, kui . Selline olekuvõrrand on füüsikaliselt korrektne peaaegu Universumi kogu ajalise evolutsiooni vältel (galaktikate omavahelised põrked toimuvad äärmiselt harva).

Tabel 1. Friedman´i võrrandite (1.46.a, 1.46.b) lahendid juhul

k	t	a	H
1
0
-1

Integreerimiskonstanti saab määrata ainult vaatluste kaudu (- näitab seda, kui kõver on ruum).

Analüüsime lahendit detailsemalt juhul, kui  Tabelis 1 on näha, et lahend on parameetrilisel kujul antud valemitega:

(1.50)

Kõigepealt märgime, et aeg t kasvab monotoonselt parameetri  kasvades. Võtame vaatluse alla Universumit iseloomustavad suurused kolmel parameetri  väärtusel:

1)

Valemitest (1.50) ja (1.39) saame, et

,

Seega, parameetri  väärtusele null vastab Universumi sünnimoment . Universumi koguruumala on siis null ja paisumiskiirus (Hubble´i konstant) on lõpmatu.

2)

Sellele vastab ajamoment , mastaabifaktor , Hubble´i konstant  ja Universumi ruumala  Näeme, et Universumi paisumiskiirus on vähenenud nullini. Edasistel ajamomentidel Universum tõmbub kokku, nii, et ajamomendile  vastav Universumi ruumala  on maksimaalne ruumala väärtus.

3)

Nüüd on Universumi vanuseks , mastaabi kordaja , Hubble´i konstant  ja Universumi ruumala  Niisiis, ajamomendiks  on Universum kokku tõmbunud punktis (ruumala võrdne nulliga), kusjuures kokkutõmbumise kiirus suureneb piiramatult lähenemisel singulaarse lõppseisundile.

Kokkuvõtteks:

Universumi koguruumala on igal arengu etapil lõplik. Samuti on lõplik ka tema eluiga. Universum tekkis algsingulaarsusest ja kaob lõppsingulaarsusesse. Nende singulaarsuste füüsikaline tähendus ei ole tänapäeval selge. On terve rida konkureerivaid hüpoteese, kuid nende tõepära on tänapäeva vahenditega peaaegu võimatu kontrollida.

Negatiivse kõverusega ruumi korral,  annab tabel 1 järgmise parameetrilise esituse Friedman´i võrrandite lahendile:

.

(1.51)

Arvestades hüperboolsete funktsioonide  omadusi, on lihtne näha, et parameetri  kasvades, aeg t  ja mastaabi kordaja  kasvavad monotoonselt, Hubble´i konstant  aga kahaneb monotoonselt. Seetõttu vaatleme siin ainult piirväärusi parameetri   lähenemisel nullile ja lõpmatusele.

1)

Sellisel juhul   ja . Niisiis algmomendil  oli Universumi paisumiskiirus lõpmata suur. Kuigi negatiivse kõverusega ruumi korral on Universumi koguruumala lõpmata suur, on ka sellisel juhul  korral tegemist algsingulaarsusega. Nimetatud väites on lihtne veenduda, kui peame silmas, et kuitahes suurte mõõtmetega ruumi piirkond Universumis ajamomendil  omab piisavalt väikesel ajamomendil  kaduvväikest ruumala, kuna ruumilist mastaapi määrav funktsioon  läheneb nullile (vt valem (1.43)).

2)

Sellele piirprotsessile vastab  ja

Kokkuvõtteks võib öelda, et negatiivse kõverusega ruumi korral sündis Universum lõplik ajavahemik tagasi lõpmatu suure ruumalaga algsingulaarsusest ja paisub aeglustuvalt igavesti.

Friedman´i tasane mudel, , käitub üldjoontes sarnaselt negatiivse kõverusega mudeliga.

Ultrarelativistlik olekuvõrrand

Füüsikalistest kaalutlustest järeldub, et tabelis 1 toodud lahendid ei ole rakendatavad Universumi singulaarsete olekute läheduses. Kuna nii Universumi arengu väga varajastel momentidel (kõigi mudelite korral) kui ka Universumi oleku lähenemisel lõppsingulaarsusele (positiivse kõverusega mudeli korral), peab aine-energia tihedus olema väga suur, siis olekuvõrrandi  kasutamine ei ole enam füüsikaliselt põhjendatud. Teoreetiliste kaalutluste ja vaatlustega kooskõlalise tulemusena annab hüpotees, et väga suure aine-energia tiheduse korral on aine temperatuur niivõrd kõrge, et osakeste keskmised kiirused on väga lähedased valguse kiirusele. Sellisel juhul võib osakeste seisumassi jätta arvestamata ja kõik osakesed käituvad sarnaselt footonitega.

Vastav olekuvõrrand (ultrarelativistlik olekuvõrrand) on hästi teada:

kus  on energiatihedus.

Vaatleme kõigepealt tasast Friedman´i mudelit,  Friedman´i võrrandid (1.46.a, 1.46.b) avalduvad nüüd kujul:

(1.52)

Lihtne on asendamise teel kontrollida, et võrrandisüsteemi (1.52) lahendiks on

,

(1.53)

Hubble´i konstandi võime nüüd leida valemist (1.49):

(1.54)

Näeme, et ka antud juhul Universumi algmomendi läheduses   mastaabitegur  ja Hubble´i konstant . Kuna kõigi mudelite korral on ultrarelativistlik olekuvõrrand rakendatav ainult Universumi sünnimomendi läheduses, st aja  väikestel väärtustel, siis osutub, et lahendid (1.53) ja (1.54) on ligikaudu õiged ka positiivse kõverusega  ja negatiivse kõverusega  mudelite korral. Niisiis kõik mudelid käituvad Universumi varajases nooruses ühtemoodi - sarnaselt tasase mudeliga. See tähtis tulemus lihtsustab tunduvalt Universumi sünnimomendi läheduses toimuvate füüsikaliste protsesside teoreetilist analüüsi. Erinevate mudelite ühtemoodi käitumist väikestel t väärtustel aitab paremini mõista kriitilisele tihedusele  tuginev arutluskäik (vt punkt 3). Valemitele (1.9) ja (1.49) tuginedes võime Friedman´i võrrandist (1.46.b) leida ainetiheduse   ja kriitilise tiheduse  suhte:

(1.55)

Tuletagem meelde, et Universumi lokaalse evolutsiooni võrranditest järeldus Universumi lõplik eluiga, juhul kui ainetihedus  on suurem kui kriitiline tihedus  ehk  Kui  ehk , siis Universum paisub igavesti. Kuna väikestel ajamomentidel, , kõigi mudelite korral Hubble´i konstant läheneb lõpmatusele, siis valemist (1.55) saame:

Niisiis, kõigi mudelite korral on piisavalt varajases staadiumis ainetihedus praktiliselt võrdne kriitilise tihedusega - kõik mudelid käituvad sarnaselt.