1.8. ROBERTSON-WALKER´I MEETRIKAD

Meenutagem kosmoloogilist printsiipi, kus on öeldud, et ruum on homogeenne ja isotroopne. 1934. aastal Howard Robertson ja Arthur Walker tuletasid sellise ruumi kirjeldamiseks täieliku meetrika avaldise. Nad näitasid, et on olemas kolm võimalust, mida iseloomustatakse parameetriga k:

1. Universum on positiivse ruumilise kõverusega (),

2. Universum on negatiivse ruumilise kõverusega (),

3. Universum on tasane ().

Positiivse kõverusega ruumi nimetatakse ka kinniseks ruumiks (st ruumala on positiivse kõverusega ruumil lõplik). Ülejäänud kaks ruumi ( ja ) on lahtised ruumid, kus ruumala on lõpmatu.

Aeg-ruumi meetrika üldstruktuur on antud juhul järgmine:

(1.28)

kus  on kolmruumi meetrika, mille konkreetne kuju sõltub parameetri k  väärtusest, c - on valguskiirus ja t on aeg. Positiivse kõverusega  ruumi korral saab koordinaatsüsteemi  valida nii, et

,

(1.29)

kus  suvaline ajast sõltuv funktsioon ning parameetrite  muutumise piirkonnad on

.

(1.30)

Negatiivse kõverusega  ruumi korral

,

(1.31)

kus   .

Tasase ruumi korral  on meetrika  kuju antud valemiga

,

(1.32)

kus   .

Järgnevalt vaatleme lähemalt positiivse kõverusega ruume, tuginedes Robertsoni-Walker´i meetrikale.

• Radiaalne kaugus kahe punkti vahel.

Võtame ühe punkti koordinaatide alguspunktiks ja arvestame, et radiaalse sirge võrrandiks on , saame valemist (1.29):

(1.33)

kus  on teise punkti radiaalkoordinaat. Kuna  maksimaalne väärtus on , siis on taolises ruumis kahe punkti vaheline maksimaalne kaugus , st positiivse kõverusega ruumis ei ole kahte punkti, millede vaheline kaugus oleks suurem kui .

• Sfääri pindala.

Pinnaelement dS sfääril, kus  on

.

(1.34)

Valemi (1.34) tuletamisel arvestasime, et sfääril  on kaarekeste pikkused  ja  määratud vastavalt joonte  ja  võrranditele meetrikaga (1.29):

, .

Rakendades valemit (1.34) on meil lihtne leida sfääri  pindala S:

(1.35)

Näeme, et sfääri raadiuse  kasvades suureneb ka alguses sfääri pindala, kuni saavutab  korral maksimaalse väärtuse  Raadiuse edasisel kasvamisel, pindala kahaneb monotoonselt nii, et maksimaalse raadiuse, , korral on sfääri pindala võrdne nulliga. Selline tulemus iseloomustab positiivse kõverusega ruumi omaduste erinevust tasase ruumi omadustest.

• Ringjoone pikkuse ja raadiuse suhe.

Leiame positiivse kõverusega ruumis ringjoone  pikkuse L. Meetrika avaldise (1.29) põhjal on sellel ringjoonel kaareelemendi pikkuseks:

ja järelikult

Ringjoone raadiuseks on (vt valem (1.33))

Seega saame antud ringjoone jaoks tema pikkuse ja raadiuse suhteks:

(1.36)

Siit järeldubki, et positiivse kõverusega ruumis on ringjoone pikkuse ja raadiuse suhe väiksem kui .

• Sfääri ruumala.

Sarnaselt tasase ruumi juhule, on ruumala element dV leitav meetrikast (1.29) järgmiselt:

.

(1.37)

Arvutame nüüd sfääri, mille raadius on , sisse jääva ruumala:

(1.38)

Siin on näha, et raadiuse kasvades  kasvab ka monotoonselt sfääri ruumala. Kui , on . Kui raadiuse väärtus on maksimaalne , siis on maksimaalne ka sfääri ruumala:

(1.39)

Seega positiivse kõverusega ruumi korral on kogu Universumi ruumala  lõplik:

Tuletades meelde varasemalt leitud tulemusi sfääri pindala osas, saame teada – kogu lõpliku ruumalaga Universum sisaldub sfääris, mille pindala on null. See tulemus ei olegi nii üllatav, kui me vaatleme kolmemõõtmelise positiivse kõverusega ruumi kahemõõtmelist analoogi - tavalise sfääri pinda (vt joonis 7). Asugu kahemõõtmeline vaatleja gloobuse põhjapoolusel. Tema jaoks on kõige lühem tee mingi punktini poolust ning seda punkti ühendav suurringi kaar ehk meridiaani lõik. Kogu Universumiks on gloobuse pind. Gloobusel on vaatleja ümber sfääriliseks „pinnaks“ paralleel ehk ringjoon. Sfääri raadiuse (meridiaanilõigu pikkuse) kasvades, suureneb alguses ka monotoonselt paralleeli kogupikkus (sfääri pindala), kuni saavutab maksimaalse väärtuse ekvaatoril. Edasisel raadiuse kasvamisel paralleelide pikkused (sfääri pindalad) kahanevad monotoonselt ja maksimaalse raadiuse (pool gloobuse ümbermõõdust) korral on paralleeli pikkus võrdne nulliga.

Joonis 7. Kahemõõtmeline Universum – gloobus.

Vaatleja asub põhjapoolusel P. Lühim tee vaatlejast punktini M on meridiaanikaar PM pikkusega R. Vaatlejat ümbritseva „sfääri,“ raadiusega R, „pindala“ on punkti M läbiva paralleeli pikkus. Vastava „sfääri ruumala“ on selle paralleeli poolt ümbritsetud gloobuse pinnatüki pindala (viirutatud).

Tuginedes meetrikale (1.31), saame positiivse kõverusega ruumi korral läbiviidud arvutustega analoogiliste arvutuste teel järgmised tulemused.

• Kahe punkti vaheline kaugus