1.3. KRIITILINE TIHEDUS

Universumi lokaalse evolutsiooni võrrandid

Käsitleme lokaalseid omadusi, st väikeseid piirkondi (lineaarmõõtmed ca  valgusaastat). Eeldame, et kehtivad:

• kosmoloogiline printsiip;
• Hubble'i seadus;
• Newtoni II seadus.

Vaatleme galaktikate sfääri raadiusega R  (vt joonis 2). Selles sfääris asuva kosmilise aine mass olgu M. Homogeense aine jaotuse korral (kosmoloogiline printsiip) mõjub sfääri pinnal olevale galaktikale A gravitatsioonijõud, mis oleneb ainult massidest sfääri sees. Gravitatsioonijõud on sellise suurusega, nagu asuks kogu mass M sfääri tsentris. Vastavalt Hubble´i seadusele sfääri pinnal ja sfääri sees olev mass aja jooksul ei muutu. Sfäärist väljapoole jäävad massid ei mõjuta galaktika A liikumist. See tulemus sisaldub Birkhoff´i teoreemis, mille G. D. Birkhoff tõestas 1923. aastal. Kui sfääri raadius R ei ole liiga suur, siis on sfääri sees oleva mateeria gravitatsiooniväli mõõdukas ja galaktika A liikumist saab arvutada Newtoni mehaanika abil.

Newtoni gravitatsiooniseadus ja Newtoni II seadus annavad galaktika A kiirenduse määramiseks võrrandi

,

(1.5)

kus G - Newtoni gravitatsioonikonstant.

Tuletagem meelde, et Hubble´i seaduse tõttu sfääri sisse jääva aine kogumass M aja jooksul ei muutu (vt joonis 2).

Samuti saame arvutada galaktika A kiirenduse, lähtudes Hubble´i seadusest (1.1)

Kuna , siis võrrandist (1.5) saame

Asendades nüüd massi M  tema avaldisega massi tiheduse kaudu

leiame diferentsiaalvõrrandi, mis seob omavahel Hubble´i konstandi H ja kosmilise aine keskmise tiheduse : .

See võrrand koos võrrandiga (1.4) annabki Universumi lokaalset evolutsiooni kirjeldavad põhivõrrandid

,	(1.6.a)
.	(1.6.b)

Nende võrrandite abil on võimalik leida, kuidas kosmoloogia kaks põhisuurust – keskmine ainetihedus ja Hubble´i konstant sõltuvad ajast. Rõhutagem, et valemites puuduvad meie poolt suvaliselt valitud sfääri parameetrid R ja M. Seega võrrandid (1.6.a, 1.6.b) kehtivad Universumis mistahes lokaalses piirkonnas. Oluline ei ole Universumi piirkonna mass ning vaatleja asukoht.

Kriitilise tiheduse mõisteni on võimalik jõuda ka lähtudes Universumi lokaalse evolutsiooni võrranditest (1.6.a, 1.6.b). Siiski mõnevõrra piltlikum on lähtuda võrrandist (1.5). Korrutame võrrandi (1.5) mõlemaid pooli suurusega  ja integreerime aja järgi. Tulemuseks on:

,

(1.7)

kus - on integreerimiskonstant.

Võrrandil (1.7) on lihtne füüsikaline sisu: ta kajastab sfääri pinnal asuva ühikulise massiga galaktika jaoks energia jäävuse seadust. Võrrandi vasakul poolel olev esimene liidetav on selle galaktika kineetiline energia ja teine liidetav tema potentsiaalne energia ("-" märk on sellepärast, et tegemist on gravitatsioonilise tõmbumisega). Konstant E on galaktika kogu mehaaniline energia. Kuna koguenergia ei sõltu ajast, siis võime selle määrata vaatlusandmete põhjal käesoleval ajamomendil :

,

(1.8)

kus - sfääri raadius, - keskmine kosmilise aine tihedus ja - Hubble´i konstant vaatlusmomendil .

Valemi (1.8) tuletamisel kasutasime Hubble´i seadust:

Edasises arutluskäigus on otstarbekas võtta kasutusele kriitilise tiheduse  mõiste:

.

(1.9)

Üldreeglina sõltub kriitiline tihedus ajast, kuid selles paragrahvis vaatleme teda ajahetkel ,  Galaktika A koguenergia E on esitatav nüüd kujul:

.

(1.10)

Seega saame energia jäävuse seadusest (1.7) järgmise võrrandi:

.

(1.11)

Universumi lokaalsete piirkondade evolutsioon

Minevik, kus .

Käesoleval ajahetkel  sfäär paisub. Minevikus pidi sfääri raadius olema väiksem, (arvestades Hubble´i seadust). Võrrandist (1.11) järeldub, et minevikus pidi paisumiskiirus  olema suurem kui praegu. Kui tahes suure raadiusega sfääri korral pidi minevikus olema ajamoment , kus sfääri raadius oli null ja paisumiskiirus lõpmata suur:

Minevikus, , pidi vaadeldud sfääris olevate galaktikate kogumass olema kontsentreeritud ühte ruumipunkti. Ajamomenti  võime lugeda Universumi sünnimomendiks. Kuna paisumiskiirus oli sünnimomendil lõpmata suur, siis piltlikult võiks Universumi sündi käsitleda ülivõimsa plahvatusena. Siit tuleneb ka Friedman´i kosmoloogilise teooria üldlevinud nimetus ”Suure Paugu teooria.” Väga varajases Universumis, kus aine- ja energiatihedus oli tohutu suur, ei tarvitsenud tänapäeval teadaolevad füüsikaseadused kehtida ning vastavat Universumi olekut nimetatakse algsingulaarsuseks. Erinevad uurijad on hinnanud Universumi vanuseks, milleni võib ekstrapoleerida teadaolevaid füüsikaseadusi,

Tulevik, kus .

Universumi lokaalsete piirkondade käitumine tulevikus sõltub keskmise ainetiheduse  ja kriitilise tiheduse  vahekorrast, mistõttu võib kirjeldada kolme olukorda:

• Kui

Sellisel juhul on võrrandi (1.11) paremal poolel olev teine liidetav positiivne. Aja kasvades kasvab ka sfääri raadiusR. Paisumiskiirus  küll väheneb, kuna esimene liidetav võrrandi (1.11) paremal poolel läheneb nullile, kuid jääb alati positiivseks. Seega toimub tulevikus paisumine igavesti nullist erineva kiirusega (vt joonis 3). Universumi paisumine ja kokkutõmme on ajas sümmeetriline.

Joonis 3. Aine tihedus on alla kriitilise .

Galaktikate vaheline kaugus  kasvab, olgugi, et aeglustudes igavesti.

• Kui

Ka sellisel juhul kasvab sfääri raadius R monotoonselt, kuid lõpmatu kauges tulevikus kasvukiirus läheneb nullile.

• Kui .

Nüüd on võrrandi (1.11) paremal poolel teine liidetav negatiivne (ei sõltu ajast). Kuna esimene liidetav on positiivne, aja jooksul kahaneb – R kasvab – siis tulevikus on ajamoment , mille korral võrrandi (1.11) paremal pool saab võrdseks nulliga. Seega paisumiskiirus  st paisumine seiskub.

Edasi , hakkab sfäär kokku tõmbuma. Võrrandis (1.11) tuleb võtta negatiivne juur:

Sellel epohhil näeb vaatleja, et kõik kauged galaktikad liiguvad tema poole (galaktikate sininihe).

Ajamomendil  on sfääri raadius R  uuesti kahanenud nullini. Seda lõpmatu tihedusega Universumi olekut nimetatakse lõppsingulaarsuseks. Niisiis, kui aine tihedus  Universumis on kriitilisest tihedusest  suurem, on Universumi kogu eluiga lõplik:  (vt joonis 4).

Joonis 4. Universumi kogu eluiga on lõplik .

Kui , siis galaktikate vaheline kaugus väheneb. Ainetihedus on üle kriitilise .

Probleemid

 - ei ole täpselt teada.

 - on raske määrata.

Tänapäeva mõõtmised annavad Hubble´i konstandi väärtuse vahemikus

Siit saame: .

Klassikalise astronoomia meetoditel (galaktikate ja tähtede loendamise teel) on saadud, et tavapärase aine keskmine tihedus  jääb vahemikku:  See on palju väiksem kriitilisest tihedusest. Galaktikaparvedes galaktikate liikumise analüüs näitab, et Universumis peab olema tunduvalt rohkem ainet, nn varjatud massi, mis ei ole jälgitav tavapäraseid meetodeid kasutades. Käesoleval ajal ei teata, kui suur on selle aine keskmine tihedus.