II UNIVERSUMI HORISONDIGA HÕLMATAVA RUUMI GEOMEETRILINE STRUKTUUR
Siin käsitleme vaatluste läbiviimise seisukohalt
lähtudes tasase Friedman´i mudeli (
) korral
Universumi horisondi poolt hõlmatava ruumi piirkonna geomeetrilist struktuuri.
Lihtsuse mõttes eeldame, et aine-energia olekuvõrrand omab kuju
(p - rõhk).
Sellisel juhul avaldub mastaabi kordaja 
järgmiselt:
 |
(2.1) |
kus 
on mingi
konstant, mille täpne väärtus ei ole lõpptulemustes oluline (vt
tabel 1).
Tasase mudeli korral on meetrikat määraval neli-intervalli ruudul kuju (vt valemid (1.28) ja (1.32))
 , |
(2.2) |
kus sfäärilised koordinaadid muutuvad järgmistes
vahemikes: 
,
,
.
Teostagu ruumiliste koordinaatide alguspunktis
olev vaatleja mõõtmisi valgusekiirusega c liikuvate
osakeste (nt footonite) vahendusel. Osutub, et tema poolt ajamomendil t vaadeldavate
sündmuste ruumi meetrika erineb avaldisega (2.2) määratud meetrikast. Põhjuseks
on asjaolu, et kuna valgusekiirus on lõplik, siis mida suurem on vaadeldava
sündmuse radiaalkoordinaat
(mida
suurem kaugus vaadeldava sündmuseni), seda kaugemas minevikus pidi sündmust
iseloomustav signaal kiiratama:
.
Signaali kiirgamise momendil oli aga Universumi
mastaabitegur 
ja seega
vaatleja seisukohalt tuleb meetrikas (2.2) suurus
asendada
-ga.
Arvestades, et vaatlus toimub ajamomendil
, saame
kolmruumi meetrika avaldiseks
 . |
(2.3) |
Leidmaks funktsiooni
avaldist,
peame silmas, et signaal levib vaatlejani mööda null-geodeetilist (levib valgusekiirusega
mööda objekti vaatlejaga ühendavat radiaalset sirget), mille korral intervall
.
Valemist (2.2) saame footoni (signaali) levikut kirjeldava võrrandi:
 , |
(2.4) |
kus arvestasime, et radiaalse geodeetilise
korral on 
. Miinusmärk
kajastab asjaolu, et tegemist on koordinaatide alguspunkti (
) poole
tuleva signaaliga. Valemitest (2.1) ja (2.4)
tuleneb järgmine diferentsiaalvõrrand:
.
Selle võrrandi üldlahendiks on
.
Integreerimiskonstandi C määramiseks
peame silmas, et vaatleja registreerib ajamomendil 
kiiratud
signaali samal ajamomendil t ainult
siis, kui objekt on lõpmata lähedal vaatlejale (). Seega
ja järelikult
.
Nüüd on juba lihtne näha, et otsitav funktsioon
omab
kuju
 . |
(2.5) |
Tuginedes valemitele (2.3), (2.1) ja (2.5), näeme, et vaatleja poolt ajamomendil t jälgitava kolmruumi meetrika on:
 . |
(2.6) |
Kuna meetrika on nüüd teada, siis ruumi omadusi võime uurida analoogiliselt punktis 1.8 tooduga.
Kõigepealt tuvastame, et vaadeldavas kolmruumis
on radiaalkoordinaadil maksimaalne
väärtus (horisondi radiaalkoordinaat
)
 ,
 . |
(2.7) |
See tuleneb valemist (2.5), kuna
- enne
Universumi sündi ei ole objekte, mida vaadelda; ei ole ka Universumit ennast.
- Radiaalne kaugus
Radiaalse kauguse 
vaatlejast
objektini, mille radiaalkoordinaat on , avaldub
meetrika (2.6) abil järgmiselt:
 . |
(2.8) |
Valemitest (2.8) ja (2.7) on lihtne näha, et horisondi kauguseks on
 , |
(2.9) |
nagu oligi oodata. Horisondi kaugus suureneb võrdeliselt Universumi vanusega.
- Sfääri pindala
Leiame sfääri pindala 
, millel
asuvad vaadeldavad objektid radiaalkoordinaadiga 
Meetrika
(2.6) põhjal võime kirjutada
ehk
 . |
(2.10) |
Sfääri pindala muutumine
sfääri raadiuse kasvades
(vt valem (2.8)), on tüüpiline positiivse kõverusega kinnisele ruumile. Alguses
pindala kasvab kasvades,
saavutab oma maksimaalse väärtuse ja seejärel hakkab kahanema. Pindala on kõige
suuremal raadiuse väärtusel (
) jälle
null.
Valemitest (2.10) ja (2.8) näeme:
a) kui , siis
ja 
- lõpmata
väikese sfääri pindala on null;
b) kui  , siis
 ja  , |
(2.11) |
see on maksimaalne vaadeldava sfääri pindala;
c)
kui 
, siis
ja 
,
niisiis vaatlejast kõige kaugemal oleva sfääri (horisondi) pindala on null.
- Horisondi sisse jääv ruumala
Horisondi sisse jääva ruumala
leidmiseks
kasutame valemeid (2.6) ja (2.10).
Nende põhjal võime kirjutada
 . |
(2.12) |
Tehes muutuja asenduse 
, saame
.
Viimane integraal on juba lihtsalt arvutatav, tulemuseks on:
 . |
(2.13) |
Horisondi sisse jääv ruumala kasvab võrdeliselt Universumi vanuse kolmanda astmega. Kokkuvõtteks võib öelda, et vaatluste seisukohalt lähtudes on Universumi horisondi sisse jääv ruumi piirkond positiivse kõverusega kinnine ruum - tema ruumala on lõplik, äärepind aga puudub (täpsemalt äärepinna pindala on null).