1.7. MEETRIKA KÕVERAS AEG-RUUMIS JA EINSTEINI VÕRRANDID

ÜRT kohaselt põhjustavad ruumis olev mass ja energia aeg-ruumi kõveruse. Kõveras aeg-ruumis ei ole sündmuste koordinaatidel enam vahetut meetrilist mõtet. Sündmuste vahelist kaugust ds kirjeldab siis Riemann´i meetrika:

(1.26)

Kuutteist aeg-ruumi punktist x sõltuvat funktsiooni  nimetatakse meetrilise tensori  komponentideks (tihti lühiduse mõttes meetriliseks tensoriks või meetrikaks). Kuna meetriline tensor on sümmeetriline  siis üldjuhul on meetrilisel tensoril igas aeg-ruumi punktis 10 sõltumatut komponenti. Kuigi meetrilise tensori komponentide kuju sõltub taustsüsteemi (koordinaatsüsteemi) valikust, on kahe sündmuse vaheline kaugus (intervall) (1.26) koordinaatsüsteemi valikust sõltumatu. Loomulikult kirjeldavad erinevates kõverates aeg-ruumides meetrikat erinevad meetrilised tensorid .

Einsteini võrrandid seovad aeg-ruumi geomeetriat (meetrikat) aine ja energia olemasolu ning liikumisega aeg-ruumis

(1.27)

Sümmeetrilist tensorit G  nimetatakse Einsteini tensoriks. Sellel tensoril on 10 sõltumatut komponenti millised avalduvad meetrilise tensori g komponentide ja nende esimest ja teist järku tuletiste kaudu. Seega iseloomustab Einsteini tensor aeg-ruumi kõverust. Tensor T on energia-impulsstensor ja on samuti kümne sõltumatu komponendiga sümmeetriline tensor,  See tensor iseloomustab energia ja aine jaotust ning aine liikumist aeg-ruumis.

Matemaatiliselt on võrrandid (1.27) äärmiselt keerukad. Tegemist on omavahel seotud kümne mittelineaarse teist järku osatuletistega diferentsiaalvõrrandite süsteemiga. Füüsikaliselt kirjeldavad need võrrandid aeg-ruumi kõverust, mille põhjustab seal oleva aine ning energia jaotus ja liikumine, aga samuti kõvera aeg-ruumi mõju aine (energia) jaotusele, liikumisele. Seega kirjeldavad võrrandid nii seda, kuidas materiaalsed objektid tekitavad gravitatsioonivälja (aeg-ruumi kõverust), kui ka seda, kuidas sama väli omakorda määrab objektide liikumise.

Lõpuks tuletagem meelde, et tensor on füüsikalist suurust (või geomeetrilist suurust) iseloomustav matemaatiline objekt, mis ei sõltu koordinaatsüsteemi valikust, küll aga sõltuvad koordinaatsüsteemi valikust teda kirjeldavad komponendid.