Tõestusmeetodid ja mõningate seoste ja teoreemide tõestused.

Kõrgemas matemaatikas kasutatavate terminite definitsioonid

 TRIVIAALNE: Kui ma pean teile näitama, kuidas see käib, olete valesse ruumi sattunud.

 ILMSELGELT: Ma loodan te ei maganud, kui me sellest varem rääkisime, seetõttu ma seda enam kordama ei hakka.

 MEELDETULETUS: Ma ei peaks seda teile rääkima, kuid nende jaoks, kes on oma mälu pärast iga testi puhtaks teevad...

 ÜLDISUST KAOTAMATA: Ma ei tee läbi kõiki võimalikke võimalusi, kuid teen ühe ja lasen teil teha ülejäänud.

 VÕIB KERGESTI NÄIDATA: Isegi teie, oma lõplikku tarkusega, peaksite olema võimelised seda tõestama ilma, et ma hoiaksin samal ajal teie kätt.

 KONTROLLI või KONTROLLI END: See on tõestuse tüütav osa, seetõttu võite seda omal vabal ajal teha.

 TÕESTUSE VISANDAMINE: Ma ei suutnud tõestada kõiki detaile, seetõttu lõhkusin tõestuse osadeks, mida ma ei suutnud tõestada.

 VIHJE: Raskeim kõigist võimalikest tõestuse moodustest.

 NÕRK TÕESTUS: Täidab kolmandiku lehekülge vähem kui tavaline tõestus, kuid nõuab kaks aastast lisakursust, et vaid termineid mõista.

 ELEGANTNE TÕESTUS: Ei nõua eelnevaid teadmisi kõnealuse teema kohta ning on vähem kui 10 lehekülge pikk.

 ANALOOGILISELT: Vähemalt üks rida tõestuses on sama kui enne.

 KANOONILINE VORM: Neli viiest matemaatikust on soovitanud seda kui lõpliku kuju oma tudengeile.

 JÄRGNEVAD ON EKVIVALENTSED: Kui ma ütlen seda, siis see tähendab toda, ja kui ma ütlen toda, siis see tähendab teist asja, ja kui ma ütlen seda teist asja ...

 EELNEVA TEOREEMI PÕHJAL: Ma ei mäleta, kuidas see käib (ma pole üldse kindel, kas me seda tegime), kuid kui ma selle õigesti sõnastasin (kui üldse), siis ülejäänud jareldub sellest.

 KAHEREALINE TÕESTUS: Ma jätan välja kõik peale järelduse, te ei saa küsida selle kohta, mida te ei näe.

 LÜHIDALT: Aeg saab otsa, ma lihtsalt kirjutan ja räägin kiiremini.

 KVANTIFITSEERIMINE: Ma ei leia selles tõestuses midagi valesti olevat, peale selle, et see ei tööta, kui x on Jupiteri kuu (levinud rakendusmatemaatika kursuses).

 FORMAALSELT JÄTKAMINE: Manipuleeritakse sümbolitega mingite reeglite kohaselt andmata mingit vihjet nende tegelikule tähendusele (populaarne puhtas matemaatikas).

 TÕESTUS ON ÄRA JÄETUD: Usaldage mind. See on õige. 

TÕESTUSMEETODID:

 TÄPSE KIRJELDUSE MEETOD: Olgu p punkt q, mida me nimetame r -ks.

 AJALOOLINE MEETOD: Keegi on selle juba korra ära tõestanud.

 AUTORITEETE TUNNUSTAV MEETOD: See peab olema õige. Nii on kirjas Forsteris.

 AUTORITEETE KRITISEERIV MEETOD: See peab olema vale. Nii on kirjas Jaenichis.

 KOGNITIIVSE (TUNNETUSLIKU) PSÜHHOLOOGIA MEETOD 1: Ma tunnetasin probleemi!

 KOGNITIIVSE (TUNNETUSLIKU) PSÜHHOLOOGIA MEETOD 1: Ma usun, et olen probleemi tunnetanud (ära tundnud)!

 PATSIFISTLIK MEETOD: Järelikult, enne kui me selle eest võitlema hakkame, hakkame sellesse uskuma!

 KOMMUNIKATIIVNE MEETOD: Kas keegi teist teab seda?

 KAPITALISTLIK MEETOD: Kasum on maksimaalne, kui me mitte midagi ei tõesta, sest nii hoiame tüki kriiti kokku.

 KOMMUNISTLIK MEETOD: Me tõestame selle koos. Igaüks kirjutab ühe rea ja tulemus lähen valitsuse omandusse.

 NUMBRILINE MEETOD: Jämedalt ümmardatuna, see on õige.

 TARGA MEHE MEETOD: Me ei tõesta seda praegu. Niikuinii on see füüsikutele liiga keeruline.

 AJATU MEETOD: Me tõestame seda niikaua, kuni mitte keegi ei tea, kas tõestus ka lõpeb või ei. 

Tõestused.

 (Ka nii võib tõestada, kuid enamasti matemaatikud ja füüsikud nii ei tee!) 

From: Benjamin.J.Tilly@dartmouth.edu (Benjamin J. Tilly)

 Teoreem: Kõik arvud on võrdsed nulliga.
Tõestus: Eeldame, et a = b. Siis
a = b
a² = ab
a² - b² = ab - b²
(a + b)(a - b) = b(a - b)
a + b = b
a = 0 

From: Michael_Ketzlick@h2.maus.de (Michael Ketzlick)

 Teoreem : 3 = 4
Tõestus:
Eeldus: a + b = c
Selle võib kirjutada ka kujul:
4 a - 3 a + 4 b - 3 b = 4 c - 3 c
Pärast ümbertõstmisi:
4 a + 4 b - 4 c = 3 a + 3 b - 3 c
Konstandid sulgude ette:
4 * (a + b - c) = 3 * (a + b - c)
Jagame parema ja vasaku poole sama liikmega läbi:
4 = 3 

From: Benjamin.J.Tilly@dartmouth.edu (Benjamin J. Tilly)

 Teoreem: 1EEK = 1s.
Tõestus:
See annab põhjuse tundele raha kadumisest...
1EEK = 100s
= (10s)²
= (0.1EEK)²
= 0.01EEK
= 1s

From: kdq@marsupial.jpl.nasa.gov (Kevin D. Quitt)

 Teoreem: 4 = 5
Tõestus:
16 - 36 = 25 - 45
4²- 9*4 = 5² - 9*5
4² - 9*4 + 81/4 = 5² - 9*5 + 81/4
(4 - 9/2)² = (5 - 9/2)²
4 - 9/2 = 5 - 9/2
4 = 5 

From: jreimer@aol.com (JReimer)

 Teoreem: 1 = -1
Tõestus:
1 = sqrt(1) = sqrt(-1 * -1) = sqrt(-1) * sqrt(-1) = i² = -1
Võib samuti tõestada, et arvud, mis on võrdsed ühe ja sama arvuga on ka omavahel võrdsed.
1 = sqrt(1)
-1 = sqrt(1)
Seetõttu 1 = -1

From: julison@cco.caltech.edu (Julian C. Jamison)

 Teoreem: Kõik arvud on võrdsed.
Tõestus:
Valime suvalised a ja b ning olgu t = a + b. Siis
a + b = t
(a + b)(a - b) = t (a - b)
a² - b² = t*a - t*b
a² - t*a = b² - t*b
a² - t*a + t²/4 = b² - t*b + t²/4
(a - t/2)² = (b - t/2)²
a - t/2 = b - t/2
a = b

Järelikult on kõik arvud võrdsed ja kogu matemaatika mõttetu. 

Teoreem: log(-1) = 0
Tõestus:
a) log[(-1)^2] = 2 * log(-1)
Teisalt:
: b) log[(-1)^2] = log(1) = 0
Ühendades omavahel a) ja b), saame:
2* log(-1) = 0
Jagame mõlemad pooled 2-ga:
log(-1) = 0 

Teoreem: ln(2) = 0
Tõestus:
Võtame rea, mille summa on ln 2:
ln 2 = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 ...
Tõstame rea liiked ümber:
ln 2 = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 ...) - (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 ...)
Järelikult:
ln 2 = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 ...) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 ...) -
2 * (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 ...)
Ühendades omavahel kaks esimest rida:
ln 2 = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 ...) - (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 ...)
Seega:
ln 2 = 0 

Teoreem: 1 = 0
Tõestus:
Ollgu meil antud lõpmatu rida: 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -1 + 1 ...
Ühendades liikmed paarikaupa:
a) (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0
Ühendades liikmed paarikaupa teisiti:
b) 1 - (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 1 a) ja b) kombineerimisel saamegi
1 = 0 

Teoreem: n = n + 1
Tõestus:
(n + 1)² = n² + 2*n + 1
Viime 2*n + 1 vasakule:
(n + 1)² - (2n + 1) = n²
Korrutame n (2 n + 1) -ga mõlemaid poole ja rühmitame, saame:
(n + 1)² - (n + 1)(2n + 1) = n² - n (2n + 1)
Liites mõlemale poolele 1/4 (2n+1)² saame:
(n + 1)² - (n + 1)(2n + 1) + 1/4 (2n + 1)² = n² - n (2n + 1) + 1/4 (2n + 1)²
Selle võime ümber kirjutada järgmiselt:
[ (n + 1) - 1/2 (2n + 1) ]² = [ n - 1/2 (2n + 1) ]²
Võttes mõlemalt poolt ruutjuure:
(n + 1) - 1/2 (2n + 1) = n - 1/2 (2n + 1)
Liidame mõlemale poolele 1/2 (2n + 1) saame:
n+1 = n 

From: sld1n@cc.usu.edu

 Tõestame, et krokodill on pikem kui laiem.
Lemma 1. Krokodill on pikem kui rohelisem.
Viskame pilgu krokodillile. Ta on pikk nii alt- kui pealtpoolt, kuid roheline vaid pealt. Järelikult on krokodill pikem kui rohelisem.
Lemma 2. Krokodill on rohelisem kui laiem.
Vaatame krokodilli. Ta on roheline nii pikkupidi kui ka laiuti, kuid lai vaid laiuti. Seega, krokodill on rohelisem kui laiem.
Lemmadest 1 ja 2 võimegi järeldada, et krokodill on pikem kui laiem.