§1. DIFERENTSIAALVÕRRANDID

---

1.1. Diferentsiaalvõrrandite analüütiline lahendamine

Otsitav funktsioon  y(x) - y[x] ;

tema esimene tuletis  y'(x) - y'[x] ;

teine tuletis  y''(x) - y''[x] ;

5. järku tuletis  y⁽⁵⁾(x) - Derivative[5][y][x].

Näide 1. Lahendame diferentsiaalvõrrandi  y' = 2x, kus y = y(x).

In[1]:=  DSolve[ y'[x]==2x, y[x], x]

Out[1]=            2

       {{y[x] -> x + C[1]}}

C[1] - lahendamisel tekkiv määramata konstant. Võrrandi lahendiks on seega funktsioon y(x) = x² + C₁ .

Määramata konstandi tähist on võimalik parameetriga DSolveCostants->const, mille vaikimisi väärtuseks on C.

Toodud lihtsa võrrandi korral ei teki lahendi õigsuses kahtlust, keerukamate võrrandite lahendeid aga tasub kontrollida, sest leidub võrrandeid, mida Mathematica lahendab valesti.

Kontrolliks lahendfunktsioonist tuletis(t)e leidmisel saab kasutada väljundrida:

In[2]:=  D[ y[x]/.%1, x]

Out[2]= {2 x}

Näide 2. Lahendame diferentsiaalvõrrandi y'' + 2y' + 5y = 0 tingimustel y(0) = 0 ja y'(0) = 1. Joonestame leitud lahendi graafiku.

In[3]:= DSolve[{y''[x] + 2 y'[x] + 5 y[x] == 0,

        y[0]==0,

        y'[0]==1}, y[x],x]

 

Out[3]=            Sin[2 x]

        {{y[x] -> --------}}

                       x

                    2 E

In[4]:=  Plot[ Evaluate[y[x]/.%3], {x,-3,3}]

 

 

1.2. Integraalkõverate parve joonestamine

Näide 3. Lahendame diferentsiaalvõrrandi y' = 3x² + 2x - 2 ja joonestame integraalkõverate parve. Et määramata konstandile saaks anda väärtusi, tuleb ta tähistada mingi C-st erineva tähega.

In[5]:=  lah = DSolve[ y'[x]==3x^2+2x-2, y[x], x,

            DSolveConstants->K]

Out[5]=                    2   3

        {{y[x] -> -2 x + x + x + K[1]}}

Koostame lahendfunktsioonide loendi, andes K[1]-le väärtusi 0-st 5-ni.

In[6]:=  t = Table[ y[x]/.lah, {K[1],0,5}]

 

Out[6]=           2   3               2   3

  {{-2 x + x + x }, {1 - 2 x + x + x },

               2   3               2   3

   {2 - 2 x + x + x }, {3 - 2 x + x + x },

               2   3               2   3

   {4 - 2 x + x + x }, {5 - 2 x + x + x }}

 

In[7]:=  Plot[ Evaluate[t], {x,-3,3},

         AspectRatio->Automatic, PlotRange->{-1,7.2}]

 

 

1.3. Diferentsiaalvõrrandite numbriline lahendamine

Näide 4. Lahendame numbriliselt diferentsiaalvõrrandi x cos x + sin x = y', kui y(p ) = 0. Leiame lahendi, kui x Î [- 20; 20].

In[8]:= lah = NDSolve[{x Cos[x] + Sin[x]==y'[x], y[Pi]==0},

            y,{x,-20,20}]

Out[8]= {{y -> InterpolatingFunction[{-20., 20.}, <>]}}

Leiame lahendfunktsiooni väärtuse kohal x = 3,52 .

In[9]:= y[3.52]/.lah

Out[9]= {-1.30043}

Joonestame funktsiooni y graafiku piirkonnas [- 20; 20].

In[10]:= Plot[ Evaluate[y[x]/.lah], {x,-20,20}]

NDSolve[{difvõr1, difvõr2,..., algting1,...},{y,x,...},{t,t_min,t_max}] Lahendab numbriliselt diferentsiaalvõrranite süsteemi.

Näide 5. Lahendame võrrandisüsteemi  algtingimustel ja  piirkonnas [ - 2; 1].

In[11]:=  lah = NDSolve[{ y'[t]==x[t]+y[t], x'[t]==-3 x[t],

            x[-1]==10, y[-1]==5,

            x'[-1]==0.05, y'[-1]==1},

            {x,y}, {t,-2,1}]

 

Out[11]=   {{x -> InterpolatingFunction[{-2., 1.}, <>],

           y -> InterpolatingFunction[{-2., 1.}, <>]}}

    -2             200.856    -47.4549

    -1.6           60.4966    -11.0081

    -1.2           18.2212    1.58518

    -0.8           5.48813    7.78849

    -0.4           1.65299    13.2526

               -16

    -1.11022 10    0.497874   20.2626

    0.4            0.149956   30.3765

    0.8            0.0451659  45.3611

Joonestame leitud funktsioonide x = x(t) ja y = y(t) graafikud ühes teljestikus. Et graafikuid eristada, joonestame x(t) graafiku pideva joonega, y(t) oma aga kriipsjoonega. Selleks anname parameetrile PlotStyle väärtuseks graafika direktiivi Dashing, vt. p. 3.1.4. Parameetri väärtused Dashing[{}] (pidev joon) ja Dashing[{0.02}]}] (kriipsjoon) kehtivad vastavalt esimese ja teise graafiku jaoks.
 

In[13]:=  Plot[ Evaluate[{x[t],y[t]}/.lah], {t,-2,1},

            PlotStyle -> {Dashing[{}],Dashing[{0.02}]} ]

 

 

1.4. Osatuletistega diferentsiaalvõrrandid

Näide 6. Lahendame võrrandi .

Esmalt laadime package Calculus`PDSolve1`, kui see on vajalik.

In[14]:=   <<Calculus`PDSolve1`

Sümboli ` jaoks vajuta [Alt] + 096.

In[15]:=  DSolve[

         x D[u[x,y],x] + 2y D[u[x,y],y] == x^2 y + u[x,y],

        u[x,y],{x,y}]

Out[15]=                  x y        y

        {{u[x, y] -> x (--- + C[1][--])}}

                         3          2

                                   x

C[1] tähistab esimest järku osatuletistega diferentsiaalvõrrandi lahendis esinevat määramata funktsiooni.

 

§2. INTERPOLEERIMINE

---

2.1. Newtoni interpolatsioonipolünoom

InterpolatigPolynomial[andmed, x] Leiab arvandmetele täpse interpolatsioonipolünoomi Newtoni kujul, kus x on polünoomi muutuja. n interpolatsioonisõlme korral on tulemuseks (n - 1) astme polünoom. Andmed esitatakse kujul

{{ x₁ , f(x₁) },{ x₂ , f(x₂) },...,{ x_n , f(x_n) }}   või kujul

{ f(x₁) , f(x₂) ,..., f(x_n) },  kui x₁ = 1; x₂ = 2; ..., x_n = n.

Kui on teada funktsiooni tuletiste väärtused interpolatsioonisõlmedes, siis võib iga f(x_i) asendada loendiga

{ f(x_i) , f'(x_i) , f''(x_i) ,...}

In[1]:=  data = {10, 22, 26, 12, 10, 15}

Out[1]= {10, 22, 26, 12, 10, 15}

 

In[2]:=  poly1 = InterpolatingPolynomial[data, x]

Out[2]=                                      5     5   5 (-5 + x)

        10 + (12 + (-4 + (-(-) + (- - ----------) (-4 + x))

                            3     3       8

 

        (-3 + x)) (-2 + x)) (-1 + x)

 

Interpolatsioonipolünoomi võib esitada ka teistsugusel kujul.

In[3]:=  Expand[ poly1 ]

Out[3]=                       2         3        4      5

              2987 x   4919 x    1715 x    265 x    5 x

        115 - ------ + ------- - ------- + ------ - ----

                12       24        24       24       8

Näite illustreerimiseks joonestame interpolatsioonipolünoomi graafiku. Samale joonisele kanname ka andmetabelile vastavad punktid ja ühendame nad murdjoonega.

In[4]:=  g1 = Plot[ poly1{x,1,6}, DisplayFunction->Identity];

       p = ListPlot[ data, PlotStyle->PointSize[0.03], DisplayFunction->Identity];

       j = ListPlot[ data, PlotJoined->True, DisplayFunction->Identity];

 

       Show[g1, p, j, DisplayFunction->$DisplayFunction]

 

 

2.2. Vähimruutude meetod

Fit[andmed, funktsioonid, muutujad] Leiab andmetele lähendfunktsiooni vähimruutude meetodil. Leitav lähend on lineaarkombinatsioon kasutaja poolt ette antud funktsioonidest, mis üldiselt ei pea olema astmefunktsioonid. Käsku Fit saab kasutada ka mitme muutuja funktsioonide lähendamiseks. Andmed esitatakse kujul

{{ x₁ , y₁, ..., f(P₁) },{ x₂ , y₂, ..., f(P₂) },...,{ x_n , y_n, ..., f(P_n) }}, kus P_i = (x_i , y_i , ...).

Kui tegemist on ühe muutuja x funktsiooniga ja x omandab väärtusi 1, 2, ... , n, siis võib kasutada kirjutust

{ f(x₁) , f(x₂) , ..., f(x_n) }.

Käsu viimases osas tuleb loetleda kõik muutujad. Kui muutujaid on rohkem kui üks, siis tuleb nad esitada loendina. Muutujate arv peab olema võrdne koordinaatide x, y, . . . arvuga andmetabelis.

 

Näide 2. Leiame eelmises näites toodud andmetabelile lähendfunktsiooni, mis oleks lineaarkombinatsioon funktsioonidest 1, x, x² ja x³.

In[5]:=  poly2 = Fit[ data, {1, x, x^2, x^3}, x]

Out[5]=                             2           3

       -30. + 55.0913 x - 17.0952 x + 1.52778 x

 

Joonestame interpolatsioonipolünoomi graafiku.

In[6]:= g2 = Plot[ poly2, {x,1,6}]

 

 

Kanname ühele joonisele interpoleerimisel saadud polünoomi graafiku, andmetabeli punktid ning punkte ühendava murdjoone.

In[7]:=  Show[g2, p, j]

 

2.3. Numbriline interpoleerimine

Interpolation[andmed] Polünomiaalne interpoleerimine. Lähendfunktsiooni analüütilist kuju ei leita, selle asemel koostatakse nn. InterpolatingFunction'i objekti, mille abil saab arvutada interpolatsioonipolünoomi väärtusi. Andmed esitatakse kujul

{{ x₁ , f(x₁) }, { x₂ , f(x₂) },...,{ x_n , f(x_n) }} või kujul

{ f(x₁) , f(x₂) , ..., f(x_n) } , kui x₁ = 1, x₂ = 2, ... x_n = n.

Kui on teada funktsiooni tuletiste väärtused punktides x_i , siis võib funktsiooni väärtuse f(x_i) asendada loendiga

{ f(x_i) , f'(x_i) , f''(x_i) , ...}

Mitme muutuja funktsiooni interpoleerimisel kirjutatakse punkti P_i = (x_i, y_i, ...) koordinaadid ja punktile vastav funktsiooni väärtus f(P_i) ühte loendisse:

{{ x₁ , y₁ ,..., f(P₁) }, { x₂ , y₂ ,..., f(P₂) },...,{ x_n , y_n ,..., f(P_i) }}

Tuletiste kasutamisel asendatakse funktsiooni väärtus f(P_i) järgmise loendiga:

{ f(P_i) , { , ,..., , , ...}}.

Lähendpolünoomi astet saab muuta parameetriga InterpolationOrder->aste. Vaikimisi on aste 3, seega lähendatakse andmeid kuupparabooliga. Interpolation annab lähendfunktsiooni numbriliselt, mitte analüütiliselt. Tulemus väljastatakse kujul:

InterpolatingFunction[{a, b}, <>]

Siin {a, b} näitab piirkonda, milles funktsioon on interpoleeritud. Lähendpolünoomi määravate arvuloendite asemel trükitakse kolmnurksulud <>. Nii esitatud funktsiooni väärtuse arvutamiseks kohal x = x₀ kasutatakse süntaksit

InterpolatingFunction[{a, b}, <>][x0]

 

Näide 3. Leiame lähendi esimeses näites toodud andmetabelile.

In[8]:=  poly3 = Interpolation[{10,22,26,12,10,15}]

Out[8]=  InterpolatingFunction[{1, 6}, <>]

 

Arvutame interpolatsioonipolünoomi väärtuse punktis x = 2,34:

In[9]:=  poly3[2.34]

Out[9]= 24.7588

 

Et võrrelda saadud lähendfunktsiooni tegelike andmetega, joonestame tema graafiku ja märgime samale joonisele ka andmetabeli punktid. Seejuures kasutame esimese näite arvutustulemusi.

 

In[10]:= g3 = Plot[ poly3[x], {x,1,6}, DisplayFunction->Identity];

       Show[g3, p, j, DisplayFunction->$DisplayFunction]

 

 

§3. ASTMEREAD

---

3.1. Summad ja korrutised

Näide 1. Arvutame saja esimese naturaalarvu ruutude summa, s. o. summa .

In[1]:=  Sum[i^2, {i,100}]

Out[1]= 338350

NSum[ f(i), {i, i_max}] Arvutab numbriliselt summa . Indeksi(te) väärtuste määramisel saab kasutada kõiki käsu Sum jaoks toodud variante. Numbrilise summeerimise korral võib summeerimisraja väärtuseks olla ka lõpmatus.

Näide 2. Leiame rea  summa.

In[2]:=   NSum[1/(n^2+2n), {n,Infinity}]

Out[2]=  0.75

Näide 3. Leiame rea  summa.

In[3]:=   NSum[ n!/(n^2+2^n), {n,Infinity}]

Out[3]=  ComplexInfinity

Vastus tähendab, et antud rida hajub.

Näide 4. Arvutame kõigi 20-st väiksemate paaritute naturaalarvude korrutise.

In[4]:=   Product[i,{i,1,20,2}]

Out[4]=  654729075

Antud juhul võiks sama korrutist arvutada ka poolfaktoriaali abil.

In[5]:=  (20-1)!!

Out[5]=  654729075

NProduct[ f(i), {i, i_max}] Arvutab numbriliselt korrutise. Indeksi(te) väärtuste määramisel saab kasutada kõiki käsu Sum jaoks toodud variante.

3.2. Funktsiooni arendamine astmereaks

Series[f(x), {x, x₀, n}] Arendab funktsiooni f(x) astmereaks punktis x₀. Reaksarendus leitakse kuni astmeni (x - x₀)ⁿ.

Series[f(x; y), {x, x₀, xn},{y, y₀, yn}] Arendab kahe muutuja funktsiooni f(x; y) astmereaks; esmalt muutuja y järgi, siis muutuja x järgi.

Astmereaks arendatud funktsioone käsitleb Mathematica kui teatavat erilist tüüpi objekte, mida nimetatakse SeriesData objektideks. SeriesData objekt väljastatakse kujul

            2          3                        n

a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0) + a3(x-x0) +...+ O[x-x0]  ,

kus O[x-x0]^n on rea jääkliige. SeriesData objektidega saab teha aritmeetilisi tehteid, neist saab leida tuletist ja integraali. Tulemuseks saame seejuures ikka SeriesData objekti. SeriesData objektist ei saa joonestada graafikut ega arvutada tema väärtust konkreetse x korral. Et seda teha, tuleb reaksarendus enne teisendada tavaliseks avaldiseks, nagu näidatakse järgmises punktis.

Näide 5. Leiame funktsiooni y = sin x reaksarenduse punkti x = 1 ümbruses kuni astmeni (x - 1)⁴.

 

In[6]:=  Series[Sin[x],{x,1,4}]

Out[6]=                                       2

                                   Sin[1] (-1 + x)

        Sin[1] + Cos[1] (-1 + x) - ---------------- -

                                          2

 

                       3                 4

        Cos[1] (-1 + x)    Sin[1] (-1 + x)             5

        ---------------- + ---------------- + O[-1 + x]

               6                 24

InverseSeries[rida, x] Leiab reaksarenduse käsuga Series astmereaks arendatud funktsiooni pöördfunktsioonile. Korraldus InverseSeries võib osutuda kasulikuks pöördfunktsiooni leidmisel. On olemas küllalt palju funktsioone, mille pöördfunktsiooni ei ole võimalik analüütilisel kujul avaldada; sel juhul on oluline leida vähemalt pöördfunktsiooni reaksarendus.

 

Näide 6. Leiame reaksarenduse funktsioonile f(x) = e^x - 1 punkti x = 0 ümbruses kuni astmeni x³. Saadud tulemust kasutades arendame astmereaks funktsiooni f(x) pöördfunktsiooni g(x) = ln(x + 1).

 

In[7]:=   f = Series[E^x-1, {x,0,5}]

Out[7]=       2    3    4     5

            x    x    x     x        6

        x + -- + -- + -- + --- + O[x]

            2    6    24   120

 

In[8]:=  g = InverseSeries[f, x]

Out[8]=       2    3    4    5

            x    x    x    x       6

        x - -- + -- - -- + -- + O[x]

            2    3    4    5

3.3. Reaksarenduse teisendamine funktsiooniks

Normal[avaldis] Teisendab SeriesData objekti tavaliseks avaldiseks, jättes ära kõrgemat järku väikese O[x-x0]^n.

 

Näide 7. Teisendame viiendas näites saadud siinuse astmerea astmefunktsiooniks.

In[9]:=  Normal[%6]

Out[9]=                            3

                          (-1 + x) Cos[1]

        (-1 + x) Cos[1] - ---------------- + Sin[1] -

                                 6

 

               2                  4

        (-1 + x) Sin[1]    (-1 + x) Sin[1]

        ---------------- + ----------------

               2                 24

Kanname ühele joonisele funktsiooni y = sin x graafiku ja tema reaksarendusele vastava astmefunktsiooni graafiku.

In[10]:=  Plot[ {%9,Sin[x]}, {x,-2.5,6}]

 

 

§4. MAATRIKSARVUTUS

---

4.1. Ühikmaatriks ja diagonaalmaatriks

IdentityMatrix[n] Trükib n järku ühikmaatriksi.

Näide 1. Kolmerealine ühikmaatriks:

In[1]:=  TableForm[ IdentityMatrix[3] ]

Out[1]//TableForm=

   1  0  0

   0  1  0

   0  0  1

 

DiagonalMatrix[{a₁,  a₂, ..., a_n}] Annab maatriksi, mille peadiagonaalil on elemendid a₁, a₂, ... , a_n ja kõik muud elemendid on nullid; s.t. diagonaalmaatriksi.

Näide 2. Maatriks, mille peadiagonaalil on arvud 2, 3 ja 1 ning muud elemendid on nullid.

In[2]:=  TableForm[ DiagonalMatrix[{2,-3,1}] ]

Out[2]//TableForm=

  2  0   0

  0  -3  0

  0  0   1

4.2. Determinandid ja miinorid

Det[M] Arvutab ruutmaatriksi M determinandi.

 

Näide 3. Leiame maatriksi  determinandi.

In[3]:=  {{-2,3,4}, {1,-3,2}, {-1,-4,3}}

Out[3]=  {{-2, 3, 4}, {1, -3, 2}, {-1, -4, 3}}

In[4]:=  Det[%3]

Out[4]= -41

 

Minors[M, k] Arvutab maatriksi M kõik k-ndat järku miinorid. Teiste sõnadega, leitakse kõigi k × k alammaatriksite determinandid. M ei pea olema ruutmaatriks.

Näide 4. Arvutame maatriksi M esimest järku miinorid, kui

M = .

 

In[5]:=   M = {{a,b}, {c,d}, {e,f}, {g,h}};

In[6]:=   Minors[M,1]

Out[6]=  {{a, b}, {c, d}, {e, f}, {g, h}}

 

Kuna esimest järku miinor on maatriksi üksik element, saime tulemuseks esialgse maatriksi. Teist järku miinoriteks on teist järku determinandid.

In[7]:=   Minors[M,2]

Out[7]=   {{-b c + a d}, {-b e + a f}, {-b g + a h}, {-d e + c f},

         {-d g + c h}, {-f g + e h}}

 

Kõrgemat järku miinoreid maatriksil M ei ole.

4.2. Maatriksi teisendusi

Transpose[M] Vahetab maatriksi M read ja veerud, s.t. transponeerib maatriksi.

Näide 5. Leiame maatriksi  transponeeritud maatriksi.

In[8]:=  {{1,-2,3}, {-1,0,1}, {2,-3,2}}

Out[8]= {{1, -2, 3}, {-1, 0, 1}, {2, -3, 2}}

In[9]:= TableForm[ Transpose[%8] ]

Out[9]//TableForm=

  1    -1   2

  -2   0    -3

  3    1    2

 

Inverse[M] Leiab ruutmaatriksi M pöördmaatriksi.

 

Näide 6. Leiame eelmise näite maatriksi pöördmaatriksi.

In[10]:= TableForm[ Inverse[%8] ]

Out[10]//TableForm=

  3   5    1

  - -(-) -(-)

  4   4    2

 

  1  -1   -1

  3   1    1

  - -(-) -(-)

  4   4    2

MatrixPower[M, n] Leiab ruutmaatriksi M n-nda astme, korrutades maatriksit iseendaga n korda. Kui n on negatiivne, leitakse pöördmaatriksi aste.

 

Näide 7. Leiame 8. real sisestatud maatriksi kolmanda astme.

In[11]:=  TableForm[ MatrixPower[%8,3] ]

Out[11]//TableForm =

  34   -39   30

  0    1     0

  33   -39   31

 

RowReduce[M] Teisendab maatriksi M peadiagonaali elemendid ühtedeks ja peadiagonaalist üles ja allapoole jäävad elemendid nullideks. Sellist operatsiooni nim. mõnikord ka Gaussi teisenduseks.

 

Näide 8. Võtame ühe suvalise maatriksi M ja teisendame seda..

In[12]:= M = {{-26, 5, -9,-158,-144},

            { -6, 5, -3, -64, -16},

            { 18,-3,-10, -39, 134}};

In[13]:= TableForm[RowReduce[M]]

Out[13]//TableForm=

  1  0  0  2   7

  0  1  0  -5  4

  0  0  1  9   -2

4.4. Maatriksite (vektorite) korrutamine

Dot[A, B] ehk A.B  Maatriksite korrutamine. Maatriksid A ja B peavad olema sobiva suurusega. Kui tegureid on rohkem kui kaks, siis kirjutatakse A.B.C.... või Dot[A,B,C,...].

Näide 9. Leiame maatriksite korrutise .

In[14]:= {{-2,0},{0,1},{2,2}};

 

In[15]:= {{1,2,3},{4,5,6}};

 

In[16]:= TableForm[ %14.%15 ]

Out[16]//TableForm=

-2   -4   -6

4    5    6

10   14   18

Dot[{a₁, a₂, a₃}, {b₁, b₂, b₃}] ehk {a₁, a₂, a₃}.{b₁, b₂, b₃} Leiab vektorite = (a₁; a₂; a₃) ja  = (b₁; b₂; b₃) skalaarkorrutise.

Cross[{a₁, a₂, a₃}, {b₁, b₂, b₃}] Arvutab vektorite = (a₁; a₂; a₃) ja  = (b₁; b₂; b₃) vektorkorrutise. NB! Mathematica versioonis 3.0 kuulub see käsk tuuma funktsioonide hulka ja teda saab kasutada ilma pikema eeltööta. Versiooni 2.2 (ja teiste madalamate versioonide) korral tuleb aga enne mällu lugeda package LinearAlgebra`CrossProduct`.

Näide 10. Arvutame ×, kui = (2; -3; 7) ja  = ( -7; 6; 2). Kui on tarvis, loeme mällu package'i.

In[17]:=  <<LinearAlgebra`CrossProduct`

Sümboli ` saab klahvikombinatsiooniga [Alt] + 096. Ja nüüd sisestame vektorid ja arvutame nende vektorkorrutise.

In[18]:=    a = {2,-3,7};

         b = {-7,6,2};

In[19]:=   Cross[a,b]

Out[19]=  {-48, -53, -9}

4.5. Maatriksvõrrandid

LinearSolve[A, B] Leiab maatriksi X, mis on maatriksvõrrandi AX = B lahendiks.

Näide 11. Lahendame maatriksvõrrandi AX = B, kui A =  ja B = .

In[20]:=   A = {{1,-2,4}, {0,1,3}};

         B = {{2,1}, {-4,1}};

In[21]:=   TableForm[ LinearSolve[A,B] ]

Out[21]//TableForm=

    -6  3

    -4  1

    0   0

    Eelmine peatükk    Järgmine peatükk     Sisukord