§1. AVALDISTE ALGEBRALINE TEISENDAMINE

---

1.1. Sulgude avamine ja teguriteks lahutamine

Näide 1. Korrutame lahti avaldise (2 + a)⁴.

In[1]:=  Expand[(2+a)^4]

Out[1]=                  2     3   4

        16 + 32 a + 24 a + 8 a + a

ExpandNumerator[avaldis] Avab sulud ainult murru lugejas.

ExpandDenominator[avaldis] Avab sulud ainult murru nimetajas.

ExpandAll[avaldis] Avab kõikvõimalikud sulud.

Näide 2. Toodud käskude erinevuse näitamiseks teisendame murdu  .

In[2]:=  Expand[(z+1)(z+2)/((z+3)(z+4))]

Out[2]=                                           2

             2                3 z               z

        -------------- + -------------- + --------------

        (3 + z)(4 + z)   (3 + z)(4 + z)   (3 + z)(4 + z)

 

In[3]:=  ExpandNumerator[(z+1)(z+2)/((z+3)(z+4))]

Out[3]=             2

        2 + 3 z + z

        ---------------

        (3 + z) (4 + z)

 

In[4]:=  ExpandDenominator[(z+1)(z+2)/((z+3)(z+4))]

Out[4]=  (1 + z) (2 + z)

        ---------------

                    2

        12 + 7 z + z

 

In[5]:= ExpandAll[(z+1)(z+2)/((z+3)(z+4))]

Out[5]=                                        2

             2             3 z               z

        ------------- + ------------- + -------------

                    2               2               2

        12 + 7 z + z    12 + 7 z + z    12 + 7 z + z

Näide 3. Olgu meil avaldis (p + a )(x – 4)(x + 3) , kus p + a on mingi konstant, mida oleks mõtet koos hoida. Seega tuleb avada ainult muutujat x sisaldavad sulud.

In[6]:=  Expand[ (Pi+alfa) (x-4) (x+3), x]

Out[6]=                                                 2

        -12 (alfa + Pi) - (alfa + Pi) x + (alfa + Pi) x

Näide 4. Tegurdame polünoomi 2x³ – 3x² + 8x – 12.

In[7]:= Factor[ 2x^3 - 3x^2 + 8x - 12 ]

Out[7]=                  2

       (-3 + 2 x) (4 + x )

Näide 5. Tegurdame uuesti eelmises näites antud polünoomi.

In[8]:=  Factor[ 2x^3-3x^2+8x-12, GaussianIntegers->True]

Out[8]=  (-2 I + x) (2 I + x) (-3 + 2 x)

1.2. Ühisele nimetajale viimine ja osamurdudeks lahutamine

Together[avaldis] Viib avaldise ühisele nimetajale ja taandab tulemuse. Uues nimetajas jäetakse võimaluse korral sulud avamata.

Näide 6. Viime ühisele nimetajale avaldise .

In[9]:=  Together[ 1/(a+b) + 1/b ]

Out[9]=   a + 2 b

        ---------

        b (a + b)

 

Apart[avaldis] Lahutab avaldise minimaalsete nimetajatega osamurdudeks. Apart ja Together on teineteise pöördoperatsioonid.

Näide 7. Lahutame osamurdudeks avaldise ^.

In[10]:=  Apart[3/(2-x-x^2)]

Out[10]=      1       1

        -(------) + -----

          -1 + x    2 + x

1.3. Avaldise lihtsustamine

Simplify[avaldis] Lihtsustab avaldise. Teisendab avaldist, otsides talle kõige lühemat esitust.

Näide 8. Lihtsustame avaldise (x – 3)(x + 7) – x².

In[11]:=  Simplify[ (x-3)(x+7) - x^2 ]

Out11]=  -21 + 4 x

 

Koos käsuga Simplify saab kasutada parameetrit Trig-> ( True või False ). Vaikimisi kehtiva väärtuse True korral kasutatakse lihtsustamisel trigonomeetrilisi samasusi. Väärtuse False korral trigonomeetrilisi samasusi ei kasutata.

Näide 9. Lihtsustame avaldise .

In[12]:=  Simplify[2 - (Cos[x]^2 + 4Cos[Pi-x] + 3)/(2 - 2Cos[x])]

Out[12]=     x 2

        Cos[-]

            2

Tulemus on esitatud nurga  abil. Kui me mingil põhjusel ei soovi poolnurgale üle minna, tuleks keelata trigonomeetriliste samasuste kasutamine. Siis antakse vastus nurga x funktsioonina.

In[13]:=  Simplify[2 - (Cos[x]^2 + 4Cos[Pi-x] + 3)/(2 - 2Cos[x]),

          Trig->False ]

Out[13]= 1 + Cos[x]

        ----------

            2

Mõningaid juuravaldisi ( näiteks  ) ei ole võimalik korraldusega Simplify lihtsustada. Põhjus seisneb selles, et kuna ei ole teada, kas a on positiivne või negatiivne, peaks vastuseks olema | a |. Selleks, et taolises avaldises juuremärgist vabaneda, kasutatakse käsku PowerExpand . (Vt. p. 2.1.1.)

Näide 10. Lihtsustame avaldise .

In[14]:=  PowerExpand[ Sqrt[x^2] Sqrt[x^4] ]

Out[14]=  3

        x

 

Collect[avaldis,x] Kogub avaldises kokku liikmed, milles x-i aste on ühesugune. Korraldust Collect on sobiv kasutada juhul, kui avaldist vaadeldakse polünoomina muutujast x.

Näide 11. Esitame avaldise (x + xy +1)² polünoomina muutujast x.

In[15]:=  Collect[ Expand[(x+x y+1)^2], x]

Out[15]=                    2            2

        1 + x (2 + 2 y) + x (1 + 2 y + y )

 

Collect[avaldis,{x₁,x₂,...}] Kogub avaldises kokku liikmed, milles x₁ , x₂ , … astmed on ühesugused.

 

§2. VÕRRANDITE JA VÕRRANDISÜSTEEMIDE LAHENDAMINE

---

2.1. Algebralised võrrandid

Näide 1. Lahendame ruutvõrrandi x² – 5x – 14 = 0.

In[1]:=  Solve[ x^2-5x-14==0, x]

Out[1]=  {{x -> -2}, {x -> 7}}

Võrrandi lahenditeks on arvud x = – 2 ja x = 7.

 

Nagu näha, esitatakse lahendid loendina, kus on kirjas ka otsitava tähis. Kui võrrandil on kordseid lahendeid, kirjutatakse igaüks neist väljundisse vastav arv kordi. Muutuja x märkimine ei ole käsu Solve korral tingimata vajalik. Seega oleks viimase näites võinud sisestada rea Solve[ x^2-5x-14==0 ] . Juhul kui võrrandis on muutujaid rohkem kui üks, oleks siiski soovitav lisada, millise suhtes neist tuleb võrrandit lahendada. Solve leiab ka võrrandi imaginaarsed lahendid.

Näide 2. Lahendame murdvõrrandi .

In[2]:=  Solve[ 2/x + 3/x^2 == -1, x]

Out[2]=         -2 - 2 I Sqrt[2]         -2 + 2 I Sqrt[2]

        {{x -> ----------------}, {x -> ----------------}}

                       2                       2

Leitud lahendit saab lihtsustada käsu Simplify abil.

In[3]:=  Simplify[%2]

Out[3]= {{x -> -1 - I Sqrt[2]}, {x -> -1 + I Sqrt[2]}}

Võrrandil on kaks imaginaarset lahendit: x = – 1 – i ja x = – 1 + i.

Näide 3. Lahendame võrrandi . (Käsk Solve selle võrrandi lahendeid ei leia.)

In[4]:=  NSolve[ x^(1/3) + 1/x^2 == 3, x]

Out[4]=  {{x -> 0.687202}, {x -> 26.9629}}

Võrrandil on kaks lahendit: x » 0,687202 ja x » 26,9629.

2.2. Võrrandisüsteemid

Solve[{võr1,võr2},{x,y}] Püüab lahendada kahest võrrandist koosnevat süsteemi muutujate x ja y suhtes. Võrrandid peavad olema algebralised, nad ei tohi sisaldada transtsendentseid funktsioone. Võrrandeid võib süsteemis olla rohkem kui kaks.

Näide 4. Lahendame kolmest võrrandist koosneva süsteemi .

In[5]:=  Solve[{ t*u+v^2==7,

               3 u+4 v+t==2,

               1/(t+u+v)==1/2}, {t,u,v} ]

Out[5]=  {{t -> 1, u -> 3, v -> -2},

         {t -> 9, u -> -21, v -> 14}}

Võrrandil on kaks lahendit:  ja .

Vaadeldud näites oli võrrandisüsteem esitatud loendina. Teine võimalus on ühendada võrrandid süsteemiks loogilise ja-sümboli abil, milleks on &&.

 

Solve[{võr1,võr2}, x, y] Püüab lahendada võrrandisüsteemi muutuja x suhtes, elimineerides seejuures muutuja y.

Näide 5. Lahendame võrrandisüsteemi

muutuja a suhtes ja elimineerime muutuja b. Samaaegselt lihtsustame tulemust.

In[6]:=  Simplify[ Solve[ {a+2b+c==4, a+b+c==1} ,a, b] ]

Out[6]=  {{a -> -2 - c}}

Saime, et a esitub muutuja c kaudu järgmiselt: a = – 2 – c.

 

Eliminate[{võr1,võr2}, x] Elimineerib võrrandisüsteemist muutuja x. Kui tulemuses on rohkem kui üks võrrand, siis ühendatakse võrrandid loogilise ja-sümboli && abil.

Näide 6. Elimineerime võrrandisüsteemist  muutuja z.

In[7]:=  Eliminate[ {x^2+y+z==4, 2x+3y==1, y+2z==1}, z]

Out[7]=    2

        -x + 3 x == 10 && 3 y == 1 - 2 x

Olles elimineerinud esialgsest võrrandisüsteemist muutuja z, saame kahest võrrandist koosneva süsteemi 

2.3. Transtsendentsed võrrandid

Näide 7. Lahendame võrrandi 4 ln x = x. Alglähendi määramiseks joonestame kõigepealt funktsioonide y = 4 ln x ja y = x graafikud mingis mõistlikult valitud piirkonnas. Graafikute lõikepunkti x-koordinaadi võib võtta esialgseks lähendiks x₀.

In[8]:=   Plot[ {4 Log[x],x}, {x,0.01,12} ]

 

 

In[9]:=    FindRoot[4 Log[x]==x, {x,2}]

Out[9]=   {x -> 1.42961}

In[10]:=   FindRoot[4 Log[x]==x, {x,8}]

Out[10]=  {x -> 8.61317}

Näide 8. Lahendame võrrandisüsteemi 

Ei ole olemas lihtsaid algoritme sellisele võrrandisüsteemile alglähendite leidmiseks, veel enam, on raske hinnata isegi lahendite arvu. Millised alglähendid valida ja mitu lahendit leida, see sõltub põhiliselt tundmatute x ja y sisulisest tähendusest. Samuti on ilmne, et näiteks y₀ = 0 antud juhul lähendiks ei sobi.

Alglähendite x₀ = 1 ja y₀ = 1 korral saame järgmise tulemuse:

In[11]:=  FindRoot[ {Sin[x y]==x/y,(y+x)^3==3},

            {x,1}, {y,1}]

Out[11]= {x -> 0.426391, y -> 1.01586}

Alglähendite x₀ = 10 ja y₀ = 10 korral saame teistsuguse lahendi.

In[12]:=  FindRoot[{Sin[x y]==x/y,(y+x)^3==3},

            {x,10},{y,10}]

Out[12]= {x -> -96.1433, y -> 97.5855}

 

§3. MIINIMUMIDE JA MAKSIMUMIDE LEIDMINE

---

3.1. Lokaalne miimimum ja maksimum

Näide 1. Leiame funktsiooni y = x⁴ – 7x² + 6x miinimumid. Esmalt joonestame funktsiooni

y = y(x) graafiku, et teha kindlaks, kas funktsioonil üldse on miinimumi ja kui on, siis millise võiks valida alglähendi.

In[1]:=  Plot[x^4 - 7x^2 + 6x, {x,-4,4}]

 

 

In[2]:=  FindMinimum[x^4 - 7x^2 + 6x, {x,-2}]

Out[2]=  {-24.0573, {x -> -2.05655}}

Teise lokaalse miinimumi leidmiseks peame valima teistsuguse alglähendi.

In[3]:=  FindMinimum[x^4 - 7x^2 + 6x, {x,2}]

Out[3]=  {-1.76641, {x -> 1.60096}}

Mathematica võtmesõnade hulgas puudub väljend FindMaximum. Seepärast tuleb funktsiooni f(x) lokaalse maksimumi leidmiseks kasutada korraldust FindMinimum[ – f(x) ,{x,x₀}] .
Vastuse saame kujul { – f(b) ,{x -> b}}. See tähendab, et b on küll funktsiooni f(x) maksimumkoht, kuid funktsiooni väärtus sellel kohal on f(b). (Esimene arv vastuses tuleb võtta vastupidise märgiga.)

Näide 2. Leiame eelmises näites vaadeldud funktsiooni y = x⁴ – 7x² + 6x lokaalse maksimumi.

In[4]:=  FindMinimum[-(x^4 - 7x^2 + 6x), {x,1}]

Out[4]=  {-1.32369, {x -> 0.455589}}

Seega, funktsioonil f(x) on maksimum punktis (0,45589; 1,32369).

3.2. Lineaarne planeerimine

Esitame ülesande maatrikskujul. Selleks võtame kasutusele tähistused:
Sihifunktsiooni kordajate vektor (c₁; c₂; . . . c_n) = C.
Võrratuste süsteemi kordajate maatriks  = A.
Vabaliikmete veeruvektor  = B   ja tundmatute veeruvektor  = X.
Ülesanne esitub kujul 
 Korraldus LinearProgramming[C,A,B] leiab vektori X, mis on selle ülesande lahendiks. Vektorid B ja C ning maatriks A peavad olema numbrilised.

Näide 3. Lahendame lineaarse planeerimise ülesande

In[5]:=  A = {{3,-2,1}, {1,1,2}, {-2,3,-1}};

       B = {5,10,2};

       C = {1,3,2};

In[6]:=  LinearProgramming[C, A, B]

Out[6]=   7  7  3

       {-, -, -}

        2  2  2

Sihifunktsiooni väärtuse sellel kohal saab leida kui vektorite C ja X skalaarkorrutise. Meenutame, et skalaarkorrutise arvumiseks võib tehtemärgina kasutada punkti.

In[7]:=  C.%6

Out[7]=  17

3.3. Globaalne miimum ja maksimum

Näide 4. Lahendame käsu CostrainedMin abil eelmises näites antud ülesande

 

 

In[8]:=  ConstrainedMin[ x1 + 3 x2 + 2 x3,

           {3 x1 - 2 x2 + x3 >= 5,

            x1 + x2 + 2 x3 >= 10,

            -2 x1 + 3 x2 - x3 >= 2},

        {x1, x2, x3}]

Out[8]=             7        7        3

       {17, {x1 -> -, x2 -> -, x3 -> -}}

                   2        2        2

ConstrainedMax[f(x; y; ...), võrratused, {x,y,...}] Leiab funktsiooni f(x; y;…) globaalse maksimumi võrratustega määratud piirkonnas. Korraldus ConstrainedMax töötab analoogiliselt korraldusega ConstrainedMin.

 

§4. PIIRVÄÄRTUSE, TULETISE JA INTEGRAALI LEIDMINE

---

4.1. Piirväärtus

Limit[f(x), x->x₀] Leiab funktsiooni f(x) piirväärtuse x lähenemisel x₀-le.

Näide 1. Leiame piirväärtuse

In[1]:=  Limit[ ArcTan[x], x->-Infinity ]

Out[1]=  -Pi

        ---

         2

Seda, kummalt poolt x läheneb x₀-le, saab määrata parameetriga Direction.

Direction->1 x läheneb x₀-le vasakult.

Direction->-1 x läheneb x₀-le paremalt.

Direction->Automatic See on vaikimisi kehtiv väärtus, mille korral lähenetakse x₀-le alati paremalt, välja arvatud protsessi x ®¥ korral.

Näide 2. Arvutame piirväärtuse . (x läheneb 0-le vasakult.)

In[2]:=  Limit[ 2^(1/x) + 4 Sin[x]/x,

          x->0, Direction->1]

Out[2]=  4

4.2. Tuletis

D[ f, x] Leiab funktsiooni f tuletise x järgi. Kui f on mitme muutuja funktsioon, siis leitakse osatuletis.

Näide 3. Leiame funktsiooni  f(x) =  tuletise x-i järgi.

In[3]:=  D[x/(x+a), x]

Out[3]=       x          1

        -(--------) + -----

                 2    a + x

          (a + x)

Tulemust on ilmselt võimalik lihtsustada.

In[4]:=  Simplify[%3]

Out[4]=     a

        --------

               2

        (a + x)

Näide 4. Leiame kahe muutuja funktsiooni f(x; y) = xy² täisdiferentsiaali.

In[5]:=  Dt[ x*y^2 ]

Out[5]=   2

        y Dt[x] + 2 x y Dt[y]

Otsitav täisdiferentsiaal df(x; y) = y² dx + 2xy dy.

 

Dt[f, x] Leiab funktsiooni f täistuletise x järgi eeldusel, et kõik ülejäänud muutujad sõltuvad x-ist.

Näide 5. Leiame funktsiooni f(x; u) = x² + sin u täistuletise, kui u = u(x).

In[6]:=  Dt[x^2 + Sin[u], x]

Out[6]= 2 x + Cos[u] Dt[u, x]

Otsitav täistuletis .

 

Dt[f,{x,n}] Leiab funktsiooni f n-ndat järku täistuletise x-i järgi.

Näide 6. Leiame eelmises näites vaadeldud funktsiooni teise tuletise x-i järgi.

In[7]:=  Dt[x^2 + Sin[u], {x,2}]

Out[7]=                                     2

        2 + Cos[u] Dt[u, {x, 2}] - Dt[u, x] Sin[u]

Otsitav tuletis .

 

Koos käsuga Dt saab kasutada parameetrit Constants->{muutujad}, mis võimaldab ära näidata x-st sõltumatud muutujad. Vaikimisi loetakse kõiki muutujaid x-i funktsioonideks.

Näide 7. Leiame tuletise funktsioonist f(x) = x² + sin u , kui u on konstant.

In[8]:=  Dt[ x^2+Sin[u]^2, x,Constants->u]

Out[8]=  2 x

4.3. Integraal

Siin käsitleme määramata ja määratud integraalide ning kordsete integraalide leidmist. Täiendavat materjali nende teemade kohta võib leida raamatutest [5] ja [6].

Integrate[f(x),x] Leiab funktsiooni f(x) määramata integraali .

Näide 8. Leiame integraali .

In[9]:=  Integrate[x Sin[x], x]

Out[9]=  -(x Cos[x]) + Sin[x]

Saime, et . Mathematica ei lisa leitud algfunktsioonile määramata konstanti.

Integrate[f(x), {x,x₁,x₂}] Leiab funktsiooni f(x) määratud integraali .

Integrate[f(x; y), {x,x₁,x₂}, {y,y₁,y₂}] Kahekordne integraal . Esimesena integreeritakse viimasele kohale kirjutatud muutuja järgi, mis vastab sisemisele integraalile.

Näide 9. Arvutame kahekordse integraali .

In[10]:=  Integrate[8 x (y+a)^3, {x,0,1}, {y,0,a}]

Out[10]=     4

        15 a

NIntegrate[f(x), {x,x₁,x₂}] Arvutab numbriliselt funktsiooni f(x) määratud integraali . Selle käsu abil on võimalik leida integraale ka paljudest sellistest funktsioonidest, mida analüütilisel kujul integreerida ei ole võimalik. Korralduse NIntegrate abil saab arvutada ka kordseid integraale. NIntegrate kontrollib alumise ja ülemise raja korral, kas funktsioonil ei ole neil kohtadel iseäraseid punkte.

NIntegrate[f(x), {x₀,x₁,…,x_n}] Iseäraste punktide olemasolu kontrollitakse x väärtuste x₀, x₁, … x_n korral.

Näide 10. Leiame määratud integraali . Joonestame integraalialuse funktsiooni graafiku integreeritavas piirkonnas.

In[11]:=  Plot[ Sqrt[Abs[x]], {x,-1,2},

            AspectRatio->Automatic]

 

 

Jooniselt on näha, et punkt x = 0 on funktsiooni iseärane punkt.

In[12]:=  NIntegrate[ Sqrt[Abs[x]], {x,-1,0,2} ]

Out[12]=  2.55228

    Eelmine peatükk     Järgmine peatükk     Sisukord