§1. KUIDAS TÖÖTAB MATHEMATICA

---

1.1. Töö alustamine

1.2. Mathematica avaldise koostamine

•  Tehtemärkidena kasutatakse arvutiasjanduses üldlevinud sümboleid: + , – , * , / ja ^. Tehete järjekorda saab muuta ümarsulgude abil.

Näide 1. Arvutame avaldise  väärtuse.
In[2]:=       2/7+5/28
Out[2]=      13
        --
        28
Väljundreal esitatakse harilik murd horisontaalse murrujoone abil ja astendajad paigutatakse põhireast kõrgemale.
 
• Kui ülesanne sisaldab tähti (muutujaid), siis toimitakse nendega algebra reeglite järgi.

Näide 2. Arvutame avaldise 3a + 2a –  väärtuse.
In[3]:=     3*a + 2*a - 8*b^3/b
Out[3]=            2
        5 a - 8 b
• Kümnendmurru komakohad eraldatakse punktiga. Kui arvu täisosa on null, võib selle kirjutamata jätta. Näiteks arv 0,34 esitatakse kujul .34 . Harilikud murrud kirjutatakse jagamismärgi abil.
• Mathematica eristab täpseid ja ligikaudseid arve. Ligikaudse arvu tunnuseks on arvus esinev kümnendpunkt. Seega kõik kümnendmurrud on ligikaudsed arvud. Üldiselt püütakse vastused esitada täpsete arvudena.

Näide 3. Proovime arvutada jagatise 123 : 56 väärtust.
In[4]:=    123/56
Out[4]=   123
        ---
        56
Saadud tulemus on täiesti täpne, aga antud juhul kasutu.
• Kui avaldis sisaldab kasvõi üht kümnendpunktiga arvu, siis loobutakse täpsete arvude kasutamisest ja esitatakse tulemus ligikaudse arvuna. Üldjuhul antakse vastus 6 tüvenumbriga. Selleks, et leida jagatise 123/56 ligikaudset väärtust, tuleks ühele arvudest lisada kümnendpunkt.
In[5]:=    123./56
Out[5]=    2.19643
• Enamuse elementaarfunktsioonide jaoks on olemas spetsiaalsed väljendid (näiteks Sin, Cos, Log). Funktsiooni argument asetatakse kandilistesse sulgudesse.

Näide 4. Arvutame sin 0,2.
In[6]:=      Sin[0.2]
Out[6]=     0.198669
• Mathematica teeb ranget vahet suurte ja väikeste tähtede vahel. Üldiselt on sisseehitatud väljendites esimene täht suur ja järgnevad väikesed; liitsõnalistes väljendites algab iga sõna suure tähega (näiteks ArcSin, ViewPoint). Kasutaja poolt defineeritud muutujad, funktsioonid jms. ei tarvitse seda traditsiooni järgida.
• Suure osa võtmesõnadest moodustavad käsud mitmesuguste ülesannete lahendamiseks. On olemas käsud selleks, et lahendada võrrandit, selleks, et joonestada funktsiooni graafikut ja selleks, et leida funktsiooni tuletist. Edaspidi kasutame mõiste „käsk” asemel vahel ka mõistet „korraldus” ja vahel mõistet „operaator”, kui see on matemaatiliselt põhjendatud (näiteks tuletise leidmisel). Tüüpiline Mathematica käsu kirjapilt on selline:

TeeMidagi[selleavaldisega]
Näide 5. Olgu meil avaldis (a + b + c)² . Leiame avaldise lahtikorrutatud kuju, kasutades sulgude avamise käsku Expand.
In[7]:=     Expand[(a+b+c)^2]
Out[7]=    2           2                   2
        a + 2 a b + b + 2 a c + 2 b c + c
• Mathematica poolt arvutustele antavad reanumbrid võimaldavad kasutada varem saadud tulemusi ilma neid uuesti klaviatuurilt sisestamata.
%n    n-ndal real saadud tulemus;
%      eelmisel real saadud tulemus;
%%    üle-eelmisel real saadud tulemus.
Näide 6. Liidame 5. ja 6. real saadud tulemused, s. t. arvutame 2,19643 + 0,198669.
In[8]:=  %5+%6
Out[8]=  2.3951
• Muutujatele väärtuste omistamine toimub võrdusmärgi abil.

Näide 7. Anname muutujale a väärtuse 3.
In[9]:=   a = 3
Out[9]=   3
Omistame muutujatele x, y ja z väärtuse 1. Siin võib kasutada korduvat võrdust.
In[10]:=   x = y = z = 1
Out[10]=  1
Muutuja väärtust saab tühistada, andes talle väärtuseks punkti.
In[11]:=  x=.
Arvutame nüüd avaldise a + 2x.
In[12]:=   a + 2x
Out[12]=   3 + 2x
Muutuja a asendati tema väärtusega 3, x aga jääb x-ks, sest tema väärtuse tühistasime eelmisel real.
• Ühele sisendreale võib kirjutada mitu erinevat avaldist; sel juhul tuleb avaldised eraldada semikooloniga.
In[13]:=    12*3; a=6*6; b=52/4
Out[13]=  13
Ekraanile väljastatakse ainult viimase avaldise väärtus, kuid arvutused tehakse kõikide sisendrea avaldiste jaoks. Küsime näiteks muutuja a väärtust:
In[14]:=   a
Out[14]=  36
• Üldiselt, kui avaldise lõpus on semikoolon, siis tehakse kõik arvutused, kuid tulemust ekraanile ei trükita.

1.3. Üldteadmisi Mathematica kasutamisest

• Mathematica avaldise sisestamine ei erine üldiselt tööst lihtsa tekstiredaktoriga. Kopeerimise, lõikamise ja liimimise käsud paiknevad Edit-menüüs.
• Teksti märgistamisel on aga üks oluline lisavõimalus: kui teha hiireklõps mõnel ekraani paremas servas asuval klambril, muutub klamber mustaks ja sellega on ka vastav rida märgistatud. See on ainus võimalus mitme rea üheaegseks valimiseks. Mittevajaliku rea täielikuks kustutamiseks tuleb samuti märgistada vastav klamber ja siis vajutada klahvile [Delete] .
• Mathematicas puudub automaatne ridade poolitamine. Selleks, et pikemad avaldised tervenisti ekraanile mahuksid, tuleks paigutada nad mitmele reale. Uuele reale minekuks vajutatakse klahvi [Enter]. Vajutus sellele klahvile kutsub esile üksnes reavahetuse, kuid mitte ülesande lahendamist, mida teatavasti tegi klahvikombinatsioon [Shift] + [Enter] .
• Kui arvutusprotsess venib pikale ja on alust kahtlustada, et sisendavaldises on viga, oleks mõistlik arvutused katkestada. Selleks kasutatakse klahvikombinatsiooni [Alt] + [.] ( [Alt] ja punkt).
• Mathematica vajab tööks küllalt palju operatiivmälu. Kuna kõigi antud töösessiooni jooksul tehtud arvutuste tulemused säilitatakse, siis arvutuste lisandudes väheneb ka kasutada oleva mälu hulk. Vaba mälu suurust näitab ekraani alumises paremas servas olev indikaator. Kui indikaatori näit langeb alla 1000 kilobaidi, oleks mõistlik töö salvestada, Mathematica sulgeda ning seejärel uuesti avada.
• Failide salvestamise, avamise ja sulgemise standardsed korraldused paiknevad failimenüüs. Mathematicaga töötamisel tuleb kokku puutuda põhiliselt kahte sorti failidega.
• 1. Tööfail ehk notebook. Tööfailides hoitakse ülesandeid ja nende lahendusi, jooniseid. Failinime laiendiks on .ma (see laiend pannakse salvestamisel automaatselt). Tavaliselt luuakse tööfaili salvestamisel samasse kataloogi ka teine fail samasuguse nimega, kuid laiendiga .mb . Selleks, et notebooki hiljem avada, läheb tarvis ainult .ma-laiendiga faili. Kui salvestamise ruumi on vähe, võib .mb-failid kustutada.

Tavaliselt on notebook fail, kuhu kasutaja salvestab oma poolelijäänud arvutused, et neid hiljem tarvitada. Teine osa notebooke luuakse õppe- ja/või demonstratsiooni eesmärgil. Sellise faili sisu on tavaliselt hoolikalt läbi mõeldud ja kommentaaridega varustatud.
• 2. Programmifail ehk package. Neid kasutatakse programmide säilitamiseks. Failinime laiendiks on .m . Et faili saaks programmina salvestada, peab tal olema teatud kindel struktuur.
• Mathematica jooniseid saab eraldi salvestada nii vektor- kui rastergraafika failidena. Selleks tuleb soovitud joonis või joonise klamber hiirega märgistada ja valida failimenüüst korraldus SaveAs. Failitüübiks tuleb vektorgraafika jaoks valida .wmf ja rastergraafika jaoks .bmp . Jooniseid saab eksportida ka lõikepuhvri (clipboard) abil.

 

§2. TEHTED. KONSTANDID. FUNKTSIOONID

---

2.1. Tehted

x+y+z            Plus[x,y,z]     liitmine
-y               Minus[y]           lahutamine, negatiivne arv
x*y*z või  x y z  Times[x,y,z]  korrutamine
x/y              Devide[x,y]    jagamine, harilik murd
x^y              Power[x,y]      astendamine

Näide 1.

Näide 2.

2.2. Konstandid

2.3. Funktsioonid

• Mõned tuntumad elementaarfunktsioonid on järgmised:
Sqrt[x] ruutjuur — 
Log[x] naturaallogaritm x-st — ln x
Log[a,x] logaritm x-st alusel a — log_ax
Exp[x] eksponentfunktsioon — e^x
• Trigonomeetrilised ja hüperboolsed funktsioonid ning nende pöördfunktsioonid esitame tabelina. Trigonomeetriliste funktsioonide korral esitatakse argument radiaanides.

Näide 4. Arvutame tan täpse väärtuse.
       In[2]:= Tan[Pi/3]
       Out[2]= Sqrt[3]
       Tulemuseks saime .
Näide 5. Arvutame  väärtuse kümnendmurruna. Kuna argument on antud kraadides, korrutame ta konstandiga Degree. Et saada tulemust kümnendmurruna, kasutame funktsiooni N, mida kirjeldame pisut allpool.
    In[3]:= N[Cos[62 Degree]]
    Out[3]= 0.469472
Lisaks matemaatilisest analüüsist tuntud funktsioonidele esineb ka rida teisi funktsioone, mida tavaliselt funktsioonideks ei nimetata. Sellised on näiteks avaldise ligikaudse väärtuse leidmine, ümardamine, ühisteguri leidmine, juhuarvude genereerimine jne.

• Üht võimalust avaldise ligikaudse väärtuse arvutamiseks näitasime punktis 1.1.2. Teine võimalus on kasutada spetsiaalset funktsiooni N.

N[ avaldis ]  Arvutab avaldise ligikaudse väärtuse 6 tüvenumbriga.
N[ avaldis,n ]  Arvutab avaldise ligikaudse väärtuse n tüvenumbriga.
Näide 6. Leiame  väärtuse 20 tüvenumbriga.
    In[4]:=      N[Sqrt[1000],20]
    Out[4]=      31.62277660168379332
 
• Arvude ümardamiseks ja täisosa leidmiseks on olemas järgmised funktsioonid:

Round[x]   Ümardab x-i, annab x-le lähima täisarvu.
Näide 7.  Round[2.4] ---> 2     Round[2.6] ---> 3
           Round[-2.4] ---> -2   Round[-2.6] ---> -3

Floor[x]  Annab suurima täisarvu, mis on x-st väiksem või temaga võrdne. Teiste sõnadega, leiab x täisosa ehk entier x.
Näide 8.  Floor[2.4] ---> 2     Floor[2.6] ---> 2
        Floor[-2.4] ---> -3   Floor[-2.6] ---> -3

Ceiling[x]  Annab väikseima täisarvu, mis on x-st suurem või temaga võrdne.
Näide 9.  Ceiling[2.4] ---> 3    Ceiling[2.6] ---> 3
        Ceiling[-2.4] ---> -2  Ceiling[-2.6] ---> -2
 

• Suurima ühisteguri ja vähima ühiskordse leidmine:

GCD[n₁, n₂, …] Leiab täisarvude n₁, n₂, … suurima ühisteguri.
Näide 10.  Leiame arvude 9, 12 ja 21 suurima ühisteguri.
        GCD[9,12,21] ---> 3

LCM[n₁, n₂, …]   Leiab täisarvude n₁, n₂, … vähima ühiskordse.
Näide 11. Leiama arvude 6, 18, 72 ja 108 vähima ühiskordse.
         LCM[6,18,72,108] ---> 216
 

• Juhuarvude genereerimiseks kasutatakse järgmisi funktsioone:

Random[]  Annab pseudojuhuarvu piirkonnas [0; 1].
Random[arvutüüp,{x_min ,x_max}]  Annab määratud tüüpi pseudojuhuarvu piirkonnas [x_min; x_max]. Võimalikud arvutüübid on Integer, Real ja Complex.
SeedRandom[n]  Juhuslike arvude generaatori uus laadimine, kusjuures täisaarv n määrab arvutuse algväärtuse.
SeedRandom[]  Siin kasutatakse arvutuse algväärtuse jaoks kellaaega.
 
• Faktoraali arvutamiseks võib kasutada hüüumärki, kuid on olemas ka vastav võtmesõna.

n! ehk Factorial[n] faktoriaal n! = n·(n – 1)·(n – 2)· … ·2·1
n!! ehk Factorial2[n] poolfaktoriaal n!! = n·(n – 2)·(n – 4)· … .
 
• Funktsioonid reaalarvu märgi ja absoluutväärtuse leidmiseks ning funktsioonid kompleksarvu mooduli, argumendi, reaalosa ja imaginaarosa leidmiseks:

Sign[x]  märgifunktsioon, sign x = 
Abs[x]  reaalarvu korral arvu x absoluutväärtus; kompleksarvu korral arvu x moodul;
Arg[z]  kompleksarvu z argument;
Re[z]  kompleksarvu z reaalosa;
Im[z]  kompleksarvu z imaginaarosa.
Näide 12.  Arvutame kompleksarvu  –3 + 2i  mooduli.
In[5]:=    Abs[-4+2 I]
Out[5]=   2 Sqrt[5]
Tulemuseks saime .
 

§3. LOENDID

---

3.1. Loendi mõiste

• {a,b,c} — vektor (a; b; c) ehk ühemõõtmeline loend. Sageli kasutame ka nimetust ühemõõtmeline massiiv või ühedimensionaalne massiiv.

Loendist ühe elemendi eraldamiseks kirjutatakse loendi järele elemendi järjenumber kahekordsetes kandilisetes sulgudes.
Näide 1.  Küsime loendi (20; 30; 40; 50) teise elemendi väärtust.
In[1]:=    {20,30,40,50}[[2]]
Out[1]=    30
Negatiivse järjenumbri korral loendatakse elemente loendi lõpust alates.
In[2]:=    {a,2a,3a,4a,5a}[[-1]]
Out[2]=    5 a
• Kui ühemõõtmelise loendi iga element on omakorda loend, saame kahemõõtmelise loendi. Loendit {{a₁,a₂,a₃},{b₁,b₂,b₃},{c₁,c₂,c₃}} võib vaadelda maatriksina
Kui maatriksis on palju ridu ja veerge, on mõistlik tema väljastamisel kasutada käsku TableForm, mis paigutab elemendid tabelikujuliselt.
Näide 2. Olgu meil maatriks m = 
In[3]:=      m = {{11,12,13,14},{15,16,17,18}}
Out[3]=     {{11, 12, 13, 14}, {15, 16, 17, 18}}
In[4]:=      TableForm[m]
Out[4]=     11 12 13 14
        15 16 17 18
Kahemõõtmelise loendi elemendid on omakorda loendid. Küsides loendi m teise elemendi väärtust, saame maatriksi teise rea.
In[5]:=     m[[2]]
Out[5]=    {15, 16, 17, 18}
Mitmemõõtmelisest loendist üksiku elemendi eraldamiseks on kaks samaväärset võimalust. Küsime maatriksi m teise rea kolmanda elemendi väärtust.
In[6]:=     m[[2,3]]
Out[6]=    17
In[7]:=     m[[2]][[3]]
Out[7]=    17
• Võimalikud on ka kolme ja enamamõõtmelised loendid.

3.2. Tehted loenditega

• Kui kahe võrdse pikkusega loendi vahele asetada mingi tehtemärk, on tulemuseks loend, mille elemendid on saadud tehte rakendamisel lähteloendite vastavatele elementidele. Kuna tehtemärk kahe loendi vahel võib olla suvaline, on tehniliselt täiesti teostatav ka loendite jagamine ja astendamine, kuigi viimased operatsioonid ei ole aritmeetiliste vektorite (maatriksite) puhul mõeldavad.

Näide 3. Liidame kaks ühemõõtmelist loendit (vektorit).
In[8]:=    {a,b,c} + {d,e,f}
Out[8]=   {a + d, b + e, c + f}
Tulemus on kooskõlas aritmeetiliste vektorite liitmise reegliga.

Näide 4. Korrutame omavahel kaks loendit (vektorit).
    In[9]:=  {1,2,3}*{4,5,6}
    Out[9]= {4, 10, 18}
NB! Tulemuseks saadud vektor ei ole korrutatud vektorite skalaarkorrutis ega ka nende vektorkorrutis, vaid tegurite vastavate elementide korrutamisel saadud vektor.
 

• Kui asetada tehtemärk loendi ja üksiku avaldise vahele, saame tulemuseks loendi, mille elemendid on saadud tehte rakendamisel loendi vastavatele elementidele ja eraldiseisvale avaldisele.

Näide 5. Korrutame arvu 3 ja loendi {1,2,3,4}.
In[10]:=     3*{1,2,3,4}
Out[10]=    {3, 6, 9, 12}
Tulemus on aritmeetilise vektori korrutis skalaariga.

Näide 6. Liidame arvule 3 loendi {1,2,3,4}.
    In[11]:=    3 + {1,2,3,4}
    Out[11]=  {4, 5, 6, 7}
Aritmeetilist vektorit ja arvu selliselt liita ei tohi, kuid abstraktse loendi korral on see tehe korrektne.
 

• Kahe vektori x ja y skalaarkorrutise leidmiseks kirjutatakse nende vahele tehtemärgina punkt. Vastav sõnaline operaator on Dot[x,y]. Samal viisil saab leida kahe maatriksi korrutist.

Näide 7.  Arvutame vektorite (2; – 3; 5 ) ja ( – 4; 0; 12 ) skalaarkorrutise.
In[12]:=   {2,-3,5}.{-4,0,12}
Out[12]=  52

3.3. Loendite koostamine

Table[f(i),{i,i_max }]  Tulemuseks saame loendi {f(1),f(2),f(3),…,f(i_max)}. Koostatakse loend funktsiooni väärtustest, kui argument i muutub 1-st kuni i_max-ini sammuga 1.
Näide 8. Koostame loendi, mille elementideks on naturaalarvude 1 — 10 ruudud.
    In[13]:=  Table[i^2,{i,10}]
    Out[13]=   {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}
Käsul Table on olemas mitu erinevat süntaksivarianti.

Table[f(i),{i,i_min ,i_max }]  Siin määratakse i algväärtuseks i_min.
Table[f(i),{i,i_min ,i_max ,di}] Muutuja i väärtust muudetakse sammuga di.

Näide 9. Koostame funktsiooni  f(x) = 3x³ –  väärtuste tabeli piirkonnas [1; 2] sammuga 0,1.
    In[14]:=  TableForm[
              Table[{x, 3*x^3-Sqrt[x]}, {x, 1, 2, 0.1}]
          ]
    Out[14]//TableForm=

1     2
1.1   2.94419
1.2   4.08855
1.3   5.45082
1.4   7.04878
1.5   8.90026
1.6   11.0231
1.7   13.4352
1.8   16.1544
1.9   19.1986
2.    22.5858

Table[f(i ; j ; …),{i,i_min ,i_max ,di},{j,j_min ,j_max ,dj},…]  Nii saab koostada mitmemõõtmelisi loendeid.
Näide 10.  Koostame tabeli, mille esimses veerus oleksid naturaalarvud 1 — 10, teises veerus nende ruudud, kolmandas kuubid ja viimases neljandad astmed.
     In[15]:=     TableForm[Table[ i^j,
              {i,10},{j,4}]]
    Out[15]//TableForm=

     1   1    1     1
     2   4    8     16
     3   9    27    81
     4   16   64    256
     5   25   125   625
     6   36   216   1296
     7   49   343   2401
     8   64   512   4096
     9   81   729   6561
     10  100  1000  10000