Matemaatiline planeerimine 2016 S  Õppejõud A. Kivinukk

4. Kumerad hulgad ja funktsioonid
Def. 1. Hulka    nim. kumeraks, kui iga    korral lõik   , kus lõik on defineeritud võrdusega  (Sõnadega: kumera hulga iga kahte punkti ühendav lõik kuulub ka hulka)
Lause 1.(Skalaarkorrutisega antud) lineaarvõrratuse  (a, x)  b  (ehk koordinaatkujul  a 1 x 1 + ... + a n x n  b ) lahendite hulk  L  on kumer.
Tõestus. Vt loengukonspektist.
Lause 2. Kumerate hulkade ühisosa on kumer.
Geomeetriline selgitus. Ring tasandil on ilmselt kumer, vt kahe ringi ühisosa joonisel. Formaalne tõestus on loengukonspektis.
Järeldus. LP ülesande lubatavate lahendite hulk, mis määratud võrratustega  A xT  b T,  x ≥ o  (siin  ), on kumer.
Tõestus. Kuna süsteemi  A xT  b T  iga võrratus on L. 1 põhjal kumer ja süsteemi  A xT  b T  lahend peab rahuldama kõiki süsteemi võrratusi (on teatud hulkade ühisosa), siis L. 2 põhjal on väide tõestatud.
Def. 2. Punkt    on punktide    kumer kombinatsioon, kui leiduvad  λ 1 , ... , λ p  ≥ 0 , et  λ 1 + ... + λ p = 1  ja  x = λ 1 x 1+ ... + λ p x p .
N. 1. 1) Lõigu  [x ´, x ´´]  iga punkt on lõigu otspunktide  x ´, x ´´  kumer kombinatsioon. Tõesti, Def. 1 põhjal on siin  λ 1 = λ   ja  λ 2 = 1 - λ  . Lõigu keskpunkti saame, kui  λ 1 = λ 2 = ½ .
2) Kolmnurga (kumer hulk kui sirgetega määratud kumerate hulkade ühisosa, vt Lause 2 ) iga sisepunkt on esitatav tippude kumera kombinatsioonina. 
Tõestus. Joonestage kolmnurk, mille tipud on  x 1 , x 2 , x 3   ja võtke kolmnurga sees punkt  x  . Sirge läbi  x 1   ja  x    lõikab külge kui lõiku  [x 2 , x 3] , tähistame selle lõikepunkti tähega  x ´. Lõigu  [x 1, x ´] def-i põhjal (vt Def 1) leiduvad mittenegatiivsed arvud  μ 1 , μ2  ≥ 0 ,  et  μ 1 + μ2  = 1  ja  x = μ 1 x 1 + μ 2 x ´.  Nüüd punkt  x ´  asub lõigul  [x 2 , x 3],  seega Def. 1  põhjal leiduvad mittenegatiivsed arvud  ν 1 , ν2  ≥ 0 ,  et  ν 1 + ν2  = 1  ja  x´ = ν 1 x 2 + ν 2 x 3 .  Kui lõpuks avaldisse  
x = μ 1 x 1 + μ 2 x ´  asendada leitud väärtus  x´ = ν 1 x 2 + ν 2 x 3 , siis saamegi otsitava avaldise, kusjuures kordajate summa 
μ 1 + μ 2 ν 1 + μ 2 ν 2 = μ 1 + μ 2 (ν 1 +  ν 2 ) = μ 1 + μ 2  = 1,  nagu peabki olema.
Eelneva näite väidet kolmnurga sisepunkti kohta saab üldistada. Selleks toome sisse kumera hulga tipu mõiste.
Def. 3. Kumera hulga tipuks nimetatakse punkti, mis ei ole esitatav selle hulga kahe erineva punkti kumera kombinatsioonina.
N. 2. 1) Lõigu  [x ´, x ´´]  tipud on selle otspunktide  x ´, x ´´.
2) Kolmnurga tipud on selle kui kumera hulga tipud. 
3) Ringi tipud on kõik ringjoone kui raja punktid (vt joonisel, ringjoone punktid asuvad puutujatel aga mitte kõõludel).
Lause 3. Kumera hulga mis tahes sisepunkt on esitatav selle hulga tippude kumera kombinatsioonina.

Def. 4. Kumeral hulgal    määratud funktsiooni  f : S  R  nimetatakse kumeraks (alla) (või ka nõgusaks), kui iga    ja   korral    Kui see võrratus vastupidi, siis nimetatakse kumeraks üles.
N. 3. Olgu  x = ( x 1 , x 2  ,  x 3)  ,  a = (a 1  , a 2  ,  a 3) , siis saab näidata (loengus tegime), et lineaarne funktsioon vektorkujul avaldatud skalaarkorrutise abil  f (x) = (a, x) + c  on kumer üles ja alla korraga, sest iga    ja   korral kehtib võrdus   
N. 4. Ühe muutuja funktsioon  f(x) = | x |  on kumer alla, sest absoluutväärtuse omaduste põhjal  f(λ x + (1 - λ) y) = 
= | λ x + (1 - λ) y |  | λ x | + | (1 - λ) y | = | λ | | x | + | (1 - λ) | | y | = λ | x | + (1 - λ) | y | = λ f( x ) + (1 - λ) f( y ) .